【CT4导引篇】 Models 精算模型
IFoA 英国精算师考试 CT4 精算模型的学习大纲，备考必看。各章的主干知识点和考点总结。
CT4分为两部分，1-6章为随机过程，7-13章为生存模型。
随机过程部分
Chapter 1 Principles of actuarial modelling
精算建模的原则。是简单的介绍性质的章节。
熟悉概念即可。比如随机模型（stochastic models）和确定性模型（deterministic models）的优缺点，建模的基本步骤等。
Chapter 2 Stochastic processes
介绍了随机过程的基本概念，随机过程的种类（根据state和 time是离散还是连续的），白噪声（White noise），随机游走（random walk），平稳性（Stationarity），弱平稳性，独立增量（Independent increments）等。也是简单的介绍性质的章节。
Chapter 3 Markov chains
马尔可夫链。占25%的分值。大概会出两题，每题12-13分。
给定一个马尔可夫链的实例，要能画出马尔科夫状态转移图（transition graph），进而对其分析。掌握The Chapman-Kolmogorov equations。
Chapter 4 The two-state Markov model
两状态的马尔可夫链。本章是第五和第六章的基础章节。
要掌握两状态马尔可夫链的三个基本假设。并由此推导公式：
\[ \px{t}{x}=exp(-\int^t_0 \mu_{x+s}ds) \]
掌握在两状态模型中的，死亡力的极大似然估计量。
Chapter 5 Time-homogeneous Markov jump processes
时齐带跳的马尔可夫过程。比较难。
首先，要注意转移力（transition rates）和转移概率（transition probabilities）的区别。
要求根据实例写出转移矩阵（transition matrix）。
HSD model（health-sickness-death model）的图像非常重要，后续的很多例子都基于此。
要掌握 Kolmogorov 的前后差分方程。掌握 Holding time（也叫 waiting time，等待时间），occupancy probabilities（占据（某状态的）时间），状态间转移的期望时间（Expected time to reach state \(k\) starting from state \(i\)）的计算。
简单的二重减因模型（simple two-decrement model）的两个公式要会推导。
\[ p_{01}(x, x+t)=\frac{\mu_{01}}{\mu_{01}+\mu_{02}}\left[1-e^{-\left(\mu_{01}+\mu_{02}\right) t}\right] \]
\[ p_{02}(x, x+t)=\frac{\mu_{02}}{\mu_{01}+\mu_{02}}\left[1-e^{-\left(\mu_{01}+\mu_{02}\right) t}\right] \]
Chapter 6 Time-inhomogeneous Markov jump processes
非时齐带跳的马尔可夫过程。有些难。多数真题出10分，有一张卷子里是20分。
非时齐与时齐的区别在于，它的转移力不再是一个常数，而是一个与时间有关的函数。称作with duration dependence。
生存模型部分
Chapter 7 Survival models
生存模型。
这一章和CT5存在重叠，主要介绍了余命（Future lifetime）的分布函数，生存概率，死亡概率，死亡力（The force of mortality），取整余命的期望（Curtate expectation of life）的基本概念，简单的参数生存模型（Simple parametric survival models），两个死亡力法则（The Gompertz and Makeham laws of mortality）
Chapter 8 Estimating the lifetime distribution function
估计 lifetime distribution。很简单。
和上一章的参数估计方法不同，本章介绍的KM和NA生存分析法都是非参数估计方法（nonparametric approach to estimation）。非参数估计没有对生存函数的分布做预先的假定，因而更加准确。
主要掌握Kaplan-Meier (or product limit)生存分析法和Nelson-Aalen生存分析法，以及两者计算得到的估计量之间的联系。
要注意实际数据一定是存在删失或者截尾的。在生存分析中考虑了这一点。
Chapter 9 Proportional hazards models
比例风险模型。很简单。9分。
比例风险模型中的hazard，即是指死亡力。
较为常用的是The Cox proportional hazards model。要求能够指出baseline的实际情景，并在题中给定情景下通过对协变量（covariates）的取值计算hazard。看几道例题就很清楚了。
Chapter 10 The Binomial and Poisson models
二项模型和泊松模型。偏理论的章节。泊松模型是两者中较好的。一般不直接考察这一章节，但这一章有助于对下一章的理解。
要掌握 Actuarial estimate 和 Poisson estimate 的计算。
Chapter 11 Exposed to risk
风险暴露数。分为中心风险暴露数和初始风险暴露数。
要掌握两者的精确计算和数据存在删失时的近似估计。要注意，census data 和 death data 在 age 的定义上必须是一致的。
年龄有三种定义方法：
aged \(x\) last birthday：上一个生日的年龄为 \(x\)
aged \(x\) next birthday：下一个生日的年龄为 \(x\)
aged \(x\) nearest birthday：最近的一个生日的年龄为 \(x\)
由年龄的定义方法得到的某年龄 \(x\) 处在的实际年龄区间称作 Rate interval。
Chapter 12 Graduation and statistical tests
修匀和统计方法。统计方法的部分在CT3中已经学过。
Chapter 13 Methods of graduation
介绍了三种修匀方法。graduation by parametric formula，graduation by reference to a standard table，graphical graduation
结语
CT4 最重要的概念是死亡力。CT4中的每一章都是和死亡力相关的，无论是直接或者间接。Force of mortality，transaction rates，比例风险模型中的hazard，这些都是指死亡力。
You have three methods of graduation, but only one way to pass the exam——work hard.
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