IFoA 英国精算师考试 CM1 Actuarial mathematics 科目第四章——货币的时间价值的总结笔记。涉及知识点为利率、积累因子、现值、贴现率、贴现因子、实际利率和实际贴现率、等价率。

4.1 利率

债是最古老和最根本的金融活动。我们的社会本质上就是形形色色的债务关系的总和。维持庞大复杂的债务网络的核心,是债务的成本要均衡、稳定和可持续,而债务的成本,就是利率。费雪把利率定义为“现在消费和将来消费进行交换的价格”——资金有时间价值,所以让渡一部分的现在消费,就需要利息作为补偿或报酬。

我们对利息(率)(interest)给出如下定义:

利息(率)(interest)是货币在一定时期内的使用费,指货币持有者 (债权人, lender) 因贷出货币或货币资本(capital)而从借款人 (债务人, borrower) 手中获得的报酬。包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。

4.1.1 利率

  • 利率的基本概念
    • Principal;Capital:本金.业务开始时投资的金额.
    • Accumulated value:积累值.业务结束时收回的总金额.
    • Interest:利息(率).积累值和本金之差.
  • 单利 Simple interest 假定本金为 \(C\),利率为 \(i\),则 \(n\) 年后的积累值为:\(C\left(1 + n i\right)\)
  • 复利 Compound (effective) interest 假定本金为 \(C\),利率为 \(i\),则 \(n\) 年后的积累值为:\(C\left(1+i\right)^n\)

练习 4.1

Calculate the length of time it will take £ 800 to accumulate to £1000 at a simple rate of interest of 4% pa.

解:

The length of time can be found from the equation: \[ \begin {aligned} &800(1+0.04t)=1000\\\\ &\Rightarrow n=6.25years \end{aligned} \]

4.1.2 积累因子

定义积累因子(Accumulation factor) \(A(t_{1},t_{2})\)\(t_{1}\) 时刻单位1的投资在 \(t_{2}\) 时刻的积累值. \(A(0,n)\)可以简写为 \(A(n)\). - 单利的情况,在时间区间 \((0,n)\) 上的积累因子:\(A(n)=1+ni\) - 复利的情况,在时间区间 \((0,n)\) 上的积累因子:\(A(n)=(1+i)^{n}\)

4.1.3 现值

\(n\) 时刻的存款 \(C\) 在0时刻的现值(Present value): \[ PV=\frac{C}{(1+i)^n} \]

  • 为便于书写, 定义函数 \(v=\tfrac{1}{1+i}\). 则现值的表达式可进一步简写为 \(PV=Cv^{n}\)
  • \(v^n\) 的值可以查 “Formulae and Tables for Examination”(Tables).

注意,题目中要求的四舍五入有两种表述:

  • Significant figures: 保留几位有效数字
  • Decimal places: 保留几位小数
  • To the nearest pound: 保留到整数位

4.2 贴现率

4.2.1 贴现率

  • 单贴现率 Simple discount} 假定 \(n\) 时刻的存款为 \(C\),贴现率为 \(d\),0时刻的现值为:\(C\left(1-nd\right)\)
  • 复贴现率 Compound (effective) discount} 假定 \(n\) 时刻的存款为 \(C\),贴现率为 \(d\),0时刻的现值为:\(C\left(1-d\right)^n\)

4.2.2 贴现因子

定义贴现因子(Discount factors) \(v(n)\)\(t\) 时刻1单位的积累值在0时刻的现值.则: \[ v(n)=\frac{1}{A(n)} \]

4.3 实际利率和实际贴现率

4.3.1 实际利率

记第 \(n\) 期(\(n-1\)时刻至\(n\)时刻)的实际利率为 \(i_{n}\) ,则: \[ i_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)} \]

4.3.2 实际贴现率

记第 \(n\) 期(\(n-1\) 时刻至 \(n\) 时刻)的实际贴现率为 \(d_{n}\) ,则: \[ d_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n)} \]

4.4 等价率

等价率(Equivalent rates)研究的是 \(i,d,v\) 三者之间的关系:

\[ {C(1+i)}^{-n}=C v^{n}=C (1-d)^{n} \]

\[ v=1-d \]

\[ d=1-v=1-\frac{1}{1+i}=\frac{i}{1+i}=iv \]

题型 4.1. 等价率

等价率问题:已知 \(i\) ,求出等价的 \(d\),或已知 \(d\) ,求出等价的 \(i\)

对待此类问题,直接列式: \[ \mbox{积累因子}=\frac{1}{\mbox{贴现因子}} \]

其中:

\[ \mbox{积累因子}=\begin{cases} 1+ni & \mbox{单利}\\\\ (1+i)^n & \mbox{复利} \end{cases} \]

\[ \mbox{贴现因子}=\begin{cases} {1-nd} & {\mbox{单贴现率}}\\\\ {(1-d)^n} & {\mbox{复贴现率}} \end{cases} \]

例题 4.1 (CT1 September 2011 Q1)

A 91-day treasury bill is issued by the government at a simple rate of discount of 8% per annum.

Calculate the annual effective rate of return obtained by an investor who purchases the bill at issue.

思路:

根据题意,直接列式: \[ 1-nd=(1+i)^{-n} \] 其中,期限 \(n=\tfrac{91}{365}\), 单贴现率 \(d=0.08\). 求等价的复利 \(i\).

解:

\[ \begin{aligned} &(1-\frac{91}{365} \times 0.08)=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \\\\ &0.980055=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \\\\ &1+i=1.08416 \Rightarrow i=0.08416 \end{aligned} \]

第4章 习题

Exercise 1 (CT1 September 2018 Q1)

An investor is considering two investments. One investment is a 91-day bond issued by a bank which pays a rate of interest of 4% per annum effective. The second is a 91-day treasury bill which pays out €100.

    1. Calculate the price of the treasury bill and the annual simple rate of discount from the treasury bill if both investments are to provide the same effective rate of return. [3]
    1. Suggest one factor, other than the rate of return, which might determine which investment is chosen. [1] [Total 4]

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