CT5 Contingencies 寿险精算学习笔记
根据赫瑞瓦特的 CT5 寿险精算课程对全书的知识点做的梳理，和协会的CT5考试内容不完全一致，适合预习或者复习CT5的时候理一遍思路。
当当当～下面就是CT5的学习笔记啦～
虽然自己也是一个小白，但是老师上课讲得挺好，我也有好好地梳理，有错误希望提醒啦～希望大家学到知识～（预警：有点点长）
整个框架是这样的：
- 回顾简单的单人生存金养老金计算
- 准备金和Thiele's differential equation, 马尔可夫模型
- 重疾和长期看护险
- Profit Testing
- 选择和Heterogeneity
- Pension Fund
回顾简单的单人生存金养老金计算
第一章讲的就是回顾之前寿险精算Part A的内容，A部分涉及到简单的单人的生存金和年金的计算，而B涉及到多人，团体，养老金，投连险的内容，更加复杂。
老师上课跟我们说有部分知识现实生活中已经很少使用了，但是为了考试的方便，还是会教给我们，但是能学点知识总是好的嘛，有啥说错或者没说清楚的欢迎指出哦。
A的知识我没做，但是B第一章的回顾应该能满足需求。
首先，我们定义，一个人，现在 \(x\) 岁，\(T_x\) 年后，期间死亡概率就是很简单的 \(P(T_x \leq t) = F_x(t)\)，存活概率就是 \(P(T_x > t) = S_x(t)\).
然后求导求出 \(f(x)\)，求极限求出 \(x\) 岁瞬间死亡力 \(\mu_x\).
还可以继续算各种期望。
之后，为了好算，生命表上有每个年纪活着的人的人数 \(l_x\)，然后，我们就可以利用其求出 ：
\[ \px{t}{x}=\frac{l_{x+t}}{l_x} \]
以上都可以相互推导。
但现实生活中，人们不可能正正好好就在生日的时候逝去，我们用 \(K_x\) 代替精准的 \(T_x\) 进行计算，就相当于只要 \(T_x\) 的整数位。
有了这些知识，就可以开始算单人的生存金和养老金了。
我们要算的就是期望。
生存金的期望：如果你在 \(t\) 岁逝去，就给你1。 然后如果是年末给，你把每个点的死亡率乘以1再折个现就好。
养老金的期望：如果在 \(t\) 岁生存，就给你1.
如果年初给，就是每个点累积（养老金不是只给一次的生存金）的生存率乘以1加和折现即可。
对于保险公司，根据相等原则，对于保险公司，收入的期望等于支出的期望，就可以求出该拿多少保费了。
A其实就是涉及到计算，代换各种数学小技巧。
准备金和 Thiele's differential equation, 马尔可夫模型
视角转到保险公司，讲的是如何计算 policy value（保单价值）和设立 reserve（准备金），准备金必须大于或等于保单价值。
首先，我们估计保险公司的负债，也就是未来要给被保险人的钱。
当然在一开始，按简单的：
\[ EPV_{premiums}=EPV_{expenses}+EPV_{benefits} \] 负债的现值应该与资产的现值相等。
但是，接下每一年，因为死亡率的变化，每一年资产负债不对等（保费不变的情况下，付出的 benefit 和 expense 增加或减少），所以我们就需要设立准备金。
接下来计算的准备金都是最简单的，刚好在收入保费之前的准备金，但现实中，保证金一般在某个特定的日期计算。
计算准备金，首先要计算保单价值，准备金必须大于等于保单价值。
首先是 valuation basis，估计未来的利息率，死亡率和花费，然后在这个基础上计算保单价值。
保单价值分为两种，第一是 net premiom policy values；第二是 gross premium policy values。
net是一个虚假的保单价值，用 net premium，不管未发生的 bonus（但还是要包declared bonus），不管 expense 计算的价值（但实际上所有的都是基于假设）。
虽然很简化，但是他可以跟下面 gross 计算出来的进行比较，看有哪些问题。
gross 就是全算，算 bonus 和 expense。
然后对于gross policy value：
\[ V(t)=EPV_{benefits}+EPV_{expenses}-EPV_{premiums} \]
我们也可以反着来推：例如一个 benefit 为 1 的 whole life 保单：
\(t\) 时刻的 policy value 加上马上的保费，积累到年末，就等于期望：逝去给1，活着继续积累下一年的保单价值。
\[(V(t)+ Premium )\cdot(i+1)=\qx{}{x+t}+\px{}{x+t}\cdot V(t+1)\]
然后就到了 Thiele’s differential equation，他这是计算如果保费是连续交，补偿是马上给的情况。
例如，对于一个whole life contract：
\[ \frac{d V(t)}{d t}=V(t) \delta+ Premium -\mu(DeathBenefit-V(t)) \]
证明过程蛮复杂，有兴趣可以查查。
然后就是各种技巧帮助实操计算 reserve。
一个技巧是 Euler’s theorem，可以用用第一年的 reserve（0）和最后一年的reserve（0或者 endowment 的生存金）推每一年，之后当然用 excel 算了啊。
举个例子：
\[ V(h)=V(0)+\frac{d V(t)}{d t} | t=0 \]
之后又兜兜转转来到马尔可夫，讲真，感觉大三学的全部东西除了统计模型都要来点马尔可夫。
反正就是那两个假设：
- 很短时间内只能转移一次；
- 不管 history.
然后就算每个状态到其他状态或者停留在自己状态的概率了。
最后引出 Kolmogorov equation 和 reserve 的倒数值。
重疾和长期看护险
之前都是讲的一个人的，现在讲讲如果一份保单保两个人的情况。
很多现实情况是，丈夫逝去，妻子得钱，或者，丈夫妻子都逝去，另外的人的钱。
然后就涉及到两个人的生存概率和各种生存金的计算。
引入不同的标记，很多都是假设两人 independent 下得出的结论。
翻过两个人，然后来到重疾险，通常又叫收入保障保险（Income Protection Insurance）。
保单上有些注意的地方：
- Definition of sickness：一般来说形容 “totally unable to follow own occupation and not following any other for profit or reward”。
还得弄清三个period:
- Deferred period：生病残疾后，不能马上拿到钱，因为如果在period间恢复，被保人负担得起，保险公司也会省下很多钱进而随着period的延长把premium给调低，双赢。
- Waiting period:购买保险后的这个期间你得病是不给钱的，怕诈保。
- Off-period：超过生病的这个期限，保险金直线下降，防止被保人假病。
之前都是简单的恒定 transition intensity 和现金流，但现在我们要讨论的是时间对两者的影响。
为什么会有这种影响呢？
一般来说停留在生病的时间越长，康复的可能性就越小；但是对于诈病，拖延病情时间而谋取保险金的人，保险公司会按生病时间的延长来减小保险金。
下面介绍第一种因为 deferred period 带来的 duration dependence。
为了简便之后的算法，定义 \(d,\px{t}{x}\) 就是现在 \(x+t\) 岁生病，\(x\) 岁时健康，已经生病的时间小于等于 \(d\)（deferred period）。
那么我们有两种情况，第一种是 \(d \geq t\)，显然没增加什么有用的信息，\(d,\px{t}{x} = \px{t}{x}\)。
第二种是 \(d<t\)，画个图然后求得表达式积分就好。
当保险金是 duration dependence 的话，Thiele’s equation 就不管用了。
之后又介绍第二种因为 intensities of transitions 被生病时间影响所带来的 duration dependence。
然后定义从 sick 到 healthy 的 intensity of transition 为 \(dt \rho_{x+t}, z\)，表示 \(x+t\) 岁时生病，已经生了 \(z\) 这么长的时间，会在 \(x+t+dt\)前康复。
之后涉及的计算就是画图、写好表达式、积分就好。
然后介绍 long term care (LTC) insurance，他可以是附加在寿险和 income protection insurance 的 rider 上，也可以是单独的一个保险。
首先要确定他是否触发 benefits，一般对 6 activities of daily living (ADLs) 进行评估（英国）: washing, dressing, feeding ,toileting, mobility and transferring。
如果3个不行，那么给 50%；超过三个，100%。 那么现在如果用 markov model 进行分析，我们就有四个状态，健全，丧失3项，3+，以及死亡。
就跟之前一样计算reserve就好。
Profit Testing
profit testing 是经营的很重要的一环。
之前我们仅仅通过 \(EPV_{premiums}=EPV_{expenses}+EPV_{benefits}\) 来计算整体的 premium，但是对于保险公司，他需要计算年度的现金流和各种其他事项来分析整体的情况，所以，想之前那样不变更 premium 和 interest rate 来大概的计算已经不能满足。
所以引入 cashflow 和 profit signature。
这章就需要完全用 excel 分析，每行每列弄好就成。
Cash flow：CFt = (premium - expense)(1+interest rate) - benefits
就可以算出每年的 \(CF_t\) 后，我们需要计算 profit signature(CFt-increase in reserve)*survival probability，然后累计加和折现就得到我们的现值。
然后我们就可以用四种方法来 profit testing。
第一个 expected profit at RDR (risk discount rate) 是全部现值（用 risk discount rate 折现后）加和是否大于之前做的目标。
第二个是 profit margin：利润的现值/保费现值（at RDR），跟之前的目标比对
上面两个都是跟之前的目标进行对比。
第三个是 discount payback period (DPP)：就是计算出最少时间，利润现值大于等于0，并与之前进行对比。
第四个是 internal rate of return：计算出 interest rate 使现值等于0，再跟 RDR 进行对比。
还有三个 base（premium, policy value, experience）的不同导致计算的不同。
然后就谈到投联险（United-linked policies）了。
投联险其实是两个账户，一个是持有人的投资账户（United fund: 按 unit 投资），一个是保险公司的账户 (Sterling Fund)。持有人的账户无论盈亏都跟保险公司无关，他仅仅是赚一个佣金，但是保单上的保险金如果大于投资账户里的资金，就得在保险公司的账户里面算。
所以我们计算的时候分两个账户计算，运用前面 profit testing 类似的方法。
首先我们要知道几个概念：
bid/ offer spread：bid 价格是投资者卖出的价格，offer价格是投资者买入的价格，offer比bid高，所以spread=1- bid/ offer。
allocation rate：从保费中拿多少比例出来投资。
policy fee：持有投资账户的费用。
fund management charge（FMC）：和policy fee不同，这个是帮忙投资的佣金。
mortality charge：由于投资者死亡给保险公司带来的费用的1%（或其他值）被投资者承担（和mortality cost不一样的是，这个是保险公司的收入）。
然后分两个excel表算就好。
选择和Heterogeneity
寿险为什么会有选择问题呢，什么是选择，选择的是什么？
举个例子，因为有逆向选择的问题（得病率高的人倾向买保险，健康的人不怎么会考虑），我们需要用承保过程来选择我们的投保人（如果没有承保过程，保险公司的死亡率和发病率就会很难看，相对整体来说）。
但上述都是一个很笼统的问题，具体到每个地区不同的保险公司，因为地区不同，承保条件不同，市场不同，对象不同，退保等各种因素结合起来导致我们不能直接用一个大概的死亡率来笼统的大中国保费，我们需要对每个地区进行不一样的保费收取，就像a地区死亡率高，\(b\) 地区死亡率低，如果我们把两个搞起来算个平均那就对b地区不公平了（假设终身险而不是年金），所以我们这一章讨论的就是选择问题带来影响死亡率的问题。
我们考虑五个方面，暂时起初的选择（不知道翻译得对不）、时间选择、阶级选择、逆向选择和伪选择。
1.暂时起初的选择 initial selection
因为有承保过程，保险公司在一开始就把有些重大缺憾的人给拒了，留下“优秀”的人，所以，死亡率就会相对偏低，但这个效果一般只在前两年（白皮书上）存在（所以暂时），后面就慢慢和大众的死亡率重合了。
之前我特别困惑这一点，明明选进来的人都是优于民间整体水平，为啥还会只有暂时的效应呢？后来老师解答说，因为如果第一年所有人都是健康，那么第二年第三年那些健康的人也会有机率转移到生病或死亡的状态，慢慢地与大众重合，其实就相当于，全部人是一个游泳池，我们第一年把那些好的人挑出来放到另外一个游泳池里，但几年后世事变迁，好的人也会衰老，生病，死亡，慢慢地，就跟大游泳池里的概率重合，但是呢，最终还是会好一点，但是还是没有第一年差距那么地明显。
2.时间选择 time selection
对于不同时间，比如 1996-2000 和 2012 到 2016，由于医疗设备，饮食习惯，工作环境还有各种因素，死亡率是肯定不一样的。
但这样的话就会对普通寿险和年金造成重大影响，所以保险公司需要时刻戒备时间选择。
3.群体选择 class selection
我当时看到这个挺蒙的，后来知道原来是因为保险公司的针对人群不同导致的死亡率不一样。当然，这个群体不仅仅指贫富差距，还包括：男女，保单类型等等。
想象一下，穷人和富人的死亡率是一样的吗？
4.逆向选择 reverse selection
就如开头所说，越是不健康的人越想要保单，但这个吧对保险公司利润影响蛮大的，所以说一般保险公司都要做好承保，但是很尴尬有些中介就是找哪些不健康的人，伪造健康证明然后得到保单，因为健康的人大多都有自信，而且没有那么大的风险意识，所以说，逆向选择很矛盾。
5.伪选择 spurious selection
我们考虑 \(a,b\) 两个地区（假设四川的成都和绵阳），如果在 \(x\) 岁我们把 \(a,b\) 合起来算死亡率，但在 \(x+1\)岁，\(a\) 里面有一半退保，死亡率就会发生改变（有可能是像第一种那样暂时的改变，但起因不一样），但这种不关乎真正死亡率的变化，有可能死亡率没变，仅仅是加权平均，数学上的改变而已。
然后进入 Single Figure Indices。
没找到中文是啥，我对这个的理解：这次我们不用传统的每个年龄的死亡率都来算算，只考虑年龄段，每个年龄段每个区域都有人口和死亡的数量。
我们一般需要算下面四个东西然后比较。
- 1.粗糙死亡率（crude death rate: CDR）
粗糙死亡率是直接每个区域所有死亡人数除以所有人口数量，比如 \(v\) 区域一年内总共死亡人数10，总人口100，那么 CDR 就是 0.1。
简单吧，是很简单，但是，这个有被年龄段人口分布影响的问题。
可以在脑子里想想，如果整体死亡人数 \(d\)，人口是 \(E\)，那么就是 \(d/E\)，但是把式子展开，\(d\) 是由每个年龄段的死亡力\(\mu_i\)乘以对应年龄段人数\(e_i\)加和而成，所以就是\(\sum\frac{u_i\cdot e_i}{E}\)，展开，单个\(e_i/E\)就是每个年龄段人口的权重。
如果 \(v\) 地区年幼的人特多，那么乘以权重，整个死亡率就小了。
肉眼可见的糙，还易被年龄段人口给影响，用于大概估算吧。
- 2.标准死亡率（Standardised death rate: SDR）
其实就是把整体人口看作标准，用在加和每一个年龄段整体数量乘以单个区域粗糙死亡率，最后除以整体数量。
其实就是上面的每个年龄段的死亡率在乘以标准死亡率，标准一下权重，被年龄段分布的影响就不会那么地大，稍微好一点。
但是呢，缺点 CDR 直接知道死亡人数和人口就好，但 SDR 还要知道每年龄段的人口和死亡数量，会造成一定的麻烦，数据要求更高。
- 3.间接标准死亡率（Indirectly standardised death rate）
上面两个的计算实际上是我们检测的数据，那么没检测到的数据怎么办呢？
我们就可以2/1*CDR（non-census）,然后就得到 SDR（non-census）了，据我的理解，CDR好算一点，直接 1，2用检测到的数据算了，CDR（non-census）就直接把全部的死亡和人口统计好（每个年龄全部统计太累了），之后就得到 3了。
- 4.标准死亡率比率（Standardised mortality rate: SMR）
这次用每地区的人口作为基准，某地区真实死亡数量除以某地区期望死亡数量。
期望死亡数量就是用全部区域加和的死亡率乘以某地区各年龄段人口数量，也相当于标准化。如果比1差得多就可以看看年龄段有什么不同了。
整体来说，上述四种方法仅仅是条件要求的不同，想要证明的问题不同所得出的，应该要实际问题实际分析。
Pension Fund
英国40%的精算师都在从事年金（寿险里面年金占了好大的部分，怪说不得申请工作的时候一半都分为 pension 和 life insurance，足见他的地位）。
传统的是 Defined Benefit，但现在很多公司未来成本问题，大多都在转型为 Defined Contribution。
- Defined Benefit Schemes
这个是跟工资相挂钩的，基数可以是退休时的工资，可以是退休前几年工资的平均，还可以是整个工作生涯的平均。
一般来说，只保一部分（工作时间/60或多少），对于基数而言，因为毕竟老年人也不养家了，但是干得越长，会领更多年金（积累更多，期望生存时间缩短）。
- Defined Contribution Schemes
这个就不跟工资挂钩了，跟市场条件挂钩，相当于每个月，上交一部分到一个投资账户里面，交呀交，知道退休，看这个账户的情况，然后发年金——这就不是确定了。
下面是与pension规模有关的因素：
- Decrements（风险）
说到风险，对于年金，年龄肯定重要，死亡和退出（换工作，被炒）也重要，但是有一个同等重要的就是退休时是否健康，这个关系到老人从疾病到健康是一个很难的过程，还会影响死亡时间。
所以，我们根据上面的风险规定四个状态，开始状态时正常工作，状态1时正常退休，2时患疾病退休，3时死亡，4时退出，然后就跟随机过程一样，然后把原本活着的人分成四部分，然后把概率算出来。
- 工资规模
工资一般每年随着通货膨胀，升迁，经验值的上升而上升。
工资比率是指几年后的工资和现在的工资比率，通过规定的表，找到工资规模，算出数年后的期望工资。
- Final Pensionable Salary（FPS）
这个就是精算需要的工资，如果规定算后三年平均工资，那么我们的期望FPS就是现在的工资*最后三年平均工资/现在的工资。
最后，结合前面所说的，再融合各种公式，就得到最后简化后计算年金现值。
当当当，一本很厚的书就完啦～
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