寿险精算知识点串讲(I)
生存模型、简单寿险和简单年金的期望现值计算、生命表。
知识点串讲系列推文介绍
Jackie 做CM1（利息理论和寿险精算）一对一在线辅导已经两年多了。冷饭炒多了，就会产生新的感受，所以今天开始写一系列寿险精算知识点串讲的文章。英国精算师考试的其他科目也陆续在备课和辅导，以后会写对应的知识点串讲文章。
“知识点串讲”系列的定位是条理清晰，逻辑分明地梳理知识点。介于科普和应试之间：
- 为从零搭建知识点框架要肯繁复：干货密度高，初次阅读建议收藏；
- 为逻辑清晰也肯简略：注重主干而舍弃枝节，不会覆盖全部考点。
知识点串讲系列的风格和我的授课风格一致，力求以生动的例子引导大家的学习兴趣，让大家看到这些枯燥的公式时就能马上联想到其用途，什么场景什么题目里会经常用到。
举个例子。你说你刚刚在街上看到一个漂亮小姐姐，你的小伙伴可能不为所动，但是，你要形容小姐姐有一头乌黑的秀发，眨巴眨巴的大眼睛，玲珑的曲线和一米八的大长腿，长得还有点像全智贤，你的小伙伴可能就坐不住了，马上会问：在哪儿在哪儿？
就在这儿呢。
本文涉及知识点
本文涉及的知识点对应 CM1 2021 版 CMP 的以下章节：
- 14 The life table
- 15 Life assurance contracts
- 16 Life annuity contracts
以及 CS2 2019 版 CMP 的以下章节：
- 6 Survival models
引言
有风险的地方就有保险。作为一名精算师，我的日常工作就是帮助保险公司管理风险。
所谓风险，就是不确定性事件的损失频率和损失强度的函数。在寿险精算中：
损失频率对应的是生死概率；
损失强度对应的是保险金额（Sum assured）。
具体地，我们需要研究与人的身体和生命相关的风险，即“生、老、病、死”的风险：
- 保障生存风险的险种：生存保险、生存年金；
- 保障退休风险的险种：养老金；
- 保障疾病风险的险种：健康险（包括收入保护保险、重大疾病保险、长期护理保险）；
- 保障死亡风险的险种：终身寿险、定期寿险、生死两全保险。
其中：人寿保险及年金保险按设计类型分为普通型、分红型、万能型、投资连结型等。
上述人身保险的共同特点是期限较长且具有不确定性，因此，要计算保险合同约定的保险金的期望现值，需要同时考虑：
- 货币的时间价值：对应 CM1 Chapter 3: The time value of money
- 生存和死亡概率：对应 CS2 Chapter 6: Survival models
1 生存模型
我们先根据图像观察人类的死亡规律。典型的人类死亡力曲线如下图：
可以看到，死亡概率与年龄相关，其模式是合理可预测的。（注：因为手头没有死亡概率的图像，Jackie 在这里用了死亡力的图像代替。死亡力的严格定义会在后文介绍）。
那么如何构建死亡概率与年龄的模型呢？我们引入余命随机变量的概念。
1.1 余命的定义
我们用 \((x)\) 表示当前为 \(x\) 岁的个体（a life aged \(x\)），其中 \(x \geq 0\). 用 \(T_{x}\) 和 \(K_{x}\) 表示余命（future lifetime）的随机变量：
- \(T_{x}\) 表示 \((x)\) 的完全余命的随机变量（Complete future lifetime random variable）。特别地，\(T_{0}\) 为新生儿（newborn）的余命的随机变量，\(T_{0}\) 可简写为 \(T\)；
- \(K_{x}\) 表示 \((x)\) 的取整余命的随机变量（Curtate future lifetime random variable），\(K_{x}\) 是 \(T_{x}\) 的整数部分（rounded down to the integer below），即：\(K_{x}=[ T_{x}]\).
1.2 余命随机变量的分布
根据概率论与数理统计（CS1 : Actuarial Statistics）科目的知识，我们可以用余命随机变量的分布函数来描述死亡概率：
- \(T_{x}\) 的累积分布函数（Cumulative Distribution Function, cdf）：
\[ F_{x}(t)=P(T_{x}\leq t) \]
- \(T_{x}\) 的生存函数（Survival Function, sf）：
\[ S_{x}(t)=1-F_{x}(t)=P(T_{x}\geq t) \]
- \(T_{x}\) 的概率密度函数（Probability Density function, pdf）：
\[ f_{x}(t)=\dfrac{d}{dt}F_{x}(t) \]
这就构成了最基础的生存模型（Survival models）。详细内容见：CS2 : Risk Modelling and Survival Analysis.
1.3 精算符号标记
为了表示起来更为便利，精算师定义了自己的一套精算符号标记（actuarial notation）。用 \(\px{t}{x}\) 和 \(\qx{t}{x}\) 分别表示 \(S_{x}(t)\) 和 \(F_{x}(t)\).
- 生存概率 \(\px{t}{x}\) 表示当前为 \(x\) 岁的个体在 \(t\) 年后仍然存活的概率（the probability that a life now aged \(x\) is still alive after \(t\) years）：
\[ \px{t}{x}=S_{x}(t)=P(T_{x}> t) \]
- 死亡概率 \(\qx{t}{x}\) 表示当前为 \(x\) 岁的个体在 \(t\) 年内死亡的概率（the probability that a life now aged \(x\) dies within \(t\) years）：
\[ \qx{t}{x}=F_{x}(t)=P(T_{x}\leq t) \]
- 延期的死亡概率（Deferred Mortality）\(\qx{t|u}{x}\) 表示当前为 \(x\) 岁的个体在 \(t\) 到 \(t+u\) 年之间死亡的概率：
\[ \qx{t|u}{x}=P(t < T_{x}\leq t+u)=\px{t}{x}\cdot \qx{u}{x+t} \]
在表示 1 年期的概率时，上述符号中的 1 可以省略，即：
- \(\px{1}{x}=\px{}{x}\)
- \(\qx{1}{x}=\qx{}{x}\)
- \(\qx{t|1}{x}=\qx{t|}{x}\)
1.4 死亡力
为了能够把 \(T_{x}\) 的累积分布函数、生存函数和概率密度函数的式子写出来，我们还需要再引入一个函数：死亡力。
死亡力（force of mortality） \(\mu_{x}\) 是 \((x)\) 在单位时间上的死亡概率的极限。定义为： \[ \begin{aligned} \mu_{x}&=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{P(T_{0}\leq x+h|T_{0}>x)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{P(T_{x}\leq h)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{\qx{h}{x}}{h} \end{aligned} \] 这里我们先停下来思考一个问题：单位时间上的概率，还是不是概率呢？
要回答这个问题，不妨听 Jackie 讲个故事。
爱因斯坦和牛顿捉迷藏，爱因斯坦捉人，牛顿躲猫猫。
没多久，爱因斯坦看见了牛顿，于是笑着走过去说：“牛顿，我捉住你了。”
牛顿指向地面笑着说：“你捉住的不是我。看我脚下是什么？”
爱因斯坦更奇怪了：“你脚下不就是个一平方米的地砖？”
牛顿说：“对，所以你抓到的不是牛顿，而是牛顿每平方米，也就是帕斯卡。”
所以请注意，死亡力是率（rate），而不是概率（probability）。
有了死亡力函数，我们就可以写出 \(\px{t}{x}\) 和 \(\qx{t}{x}\) 的两个重要积分式： \[ \px{t}{x}=exp{(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)} \]
\[ \qx{t}{x}=\int_{0}^{t} \px{s}{x}\cdot \mu_{x+s}ds \]
以及 \(T_{x}\) 的概率密度函数： \[ f_{x}(t) =\px{t}{x}\cdot \mu_{x+t} \]
2 寿险的期望现值
生存和死亡概率解决后，结合利息理论的知识，我们就可以计算保险金的期望现值。
对于寿险来说，发生保险事故时给付的保险金（benefit）等于合同事先约定的保险金额（sum assured，简称保额）。在标准化的寿险精算EPV符号中，保额默认是1块钱。
2.1 终身寿险
以一个最简单的寿险险种——终身寿险（whole life assurance）为例：当被保险人死亡时，保险公司给付保险金。
先问个简单的问题：
Do you know the difference between a man and a whole life policy?
你知道男人和终身寿险有什么区别吗？
A whole life policy eventually matures.
终身寿险总有到期（成熟）的那一天。（言下之意，男人永远不会成熟）
终身寿险总有到期的那一天，换句话说，终身寿险必定会给付保险金额，因为：
一个人，出生了，死就不再是一个可以辩论的问题，而只是上帝交给他的一个事实；上帝在交给我们这件事实的时候，已经顺便保证了它的结果，所以死是一件不必急于求成的事，死是一个必然会降临的节日。——史铁生《我与地坛》
这也解释了为什么我们习惯把寿险称为“assurance”，而不是“insurance”：
- “insurance”是指为“未必会”发生的保险事件提供保障，通常用来描述财产保险——例如火灾险和盗抢险；
- “assurance” 是指为“一定会”发生的保险事件提供保障，通常用来描述人寿保险——因为assurance的词根是 assure , 有“一定会”的意思。
你可能会问，死亡的发生都已经是必然的了，那还要精算师来算什么呢？
原因在于，死亡发生的时点（Timing）是不确定的，换句话说，保险金的给付时点是不确定的。正是因为不确定性的存在，像 Jackie 这样的算命先生才有了用武之地。上文中我们已经用 \(T_x\) 描述出了死亡发生的时点。
学过利息理论的我们知道，货币是有时间价值的——我们应该把死亡时（ \(x+T_x\) 时刻）给付的保险金额贴现到当前（ \(x\) 时刻）以得到保险金的期望现值（Expected Present Value, EPV）。
死亡年度末给付（payable at the end of the year of death）1块钱的终身寿险的保险金的期望现值 \(A_x\)： \[ A_x=E[v^{ K_{x}+1}]=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdot P(K_{x}=k) =\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdot \qx{k|}{x} \]
死亡时立即给付（payable immediately on death）1块钱的终身寿险的保险金的期望现值 \(\bar{A}_x\)： \[ \bar{A}_x=E[v^{ T_{x}}]=\int_0^{\infty}v^t f_x(t)dt =\int_0^{\infty} v^t \cdot \px{t}{x}\cdot \actsymb{}{}{\mu}{}{x+t} dt \]
我们可以把期望现值的 \(\sum\) 积分式或 \(\int\) 求和式里的每一项归结为： \[ \text{Amount of payment} \times \text{Discount function} \times \text{Probability of payment} \]
类似地，也可以写出其他几类寿险的保险金的期望现值的公式。
2.2 定期寿险
定期寿险（term assurance） ：当被保险人在保险期间内死亡时，保险公司给付保险金。
- 死亡年度末给付1块钱的定期寿险的保险金的期望现值 \(\Ax{}{}{}{\termxn}\) ：
\[ \Ax{}{}{}{\termxn}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}\cdot \qx{k|}{x} \]
- 死亡时立即给付1块钱的定期寿险的保险金的期望现值 \(\Axz{}{}{}{\termxn}\) ：
\[ \Axz{}{}{}{\termxn}=\int_0^{n} v^t \cdot \px{t}{x}\cdot \actsymb{}{}{\mu}{}{x+t} dt \]
2.3 生存保险
生存保险（pure endowment）：当被保险人生存至保险期满时，保险公司给付保险金。
- 生存至保险期满给付1块钱的生存保险的保险金的期望现值 \(\Ax{}{}{}{\pureendowxn}\) ：
\[ \Ax{}{}{}{\pureendowxn}= v^n \cdot P(K_{x}\geq n)=v^{n}\cdot \px{n}{x} \]
2.4 生死两全保险
生死两全保险（endowment assurance）：当被保险人生存至保险期满或在保险期间内死亡时，保险公司给付保险金。生死两全保险相当于定期寿险加生存保险。
- 死亡年度末或生存至保险期满给付1块钱的生死两全保险的保险金的期望现值 \(\Ax{}{}{}{\endowxn}\) ：
\[ \Ax{}{}{}{\endowxn}=\Ax{}{}{}{\termxn}+\Ax{}{}{}{\pureendowxn} \]
2.5 延期终身寿险
以上的寿险都可以有延期（deferred）的形式，即经过一段时间后该保险才生效。
- 延期 \(n\) 年的死亡年度末给付1块钱的终身寿险的保险金的期望现值 \(\actsymb{n|}{}{A}{}{x}\) ：
\[ \actsymb{n|}{}{A}{}{x}=\sum_{k=n}^{\infty}v^{k+1}\cdot \qx{k|}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot A_{x+n} \]
3 年金的期望现值
还有一大类保险产品是生存年金。
3.1 终身生存年金
终身生存年金（Whole life annuity）：以年金受领人的整个未来生存期间为支付期的生存年金。
- 每年年末给付1块钱的终身生存年金的保险金的期望现值 \(\ax{}{}{}{x}\) ：
\[ \ax{}{}{}{x}=E[\ax{}{}{}{\angl{K_x}}]=\sum_{k=0}^{\infty}\ax{}{}{}{\angl{k}}\cdot \qx{k|}{x}=\sum_{k=1}^{\infty}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]
- 每年年初给付1块钱的终身生存年金的保险金的期望现值 \(\axzz{}{}{}{x}\) ：
\[ \axzz{}{}{}{x}=E[\axzz{}{}{}{\angl{K_x +1}}]=\sum_{k=0}^{\infty}\axzz{}{}{}{\angl{k+1}}\cdot \qx{k|}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]
- 连续给付，每年的支付强度为1的终身生存年金的保险金的期望现值 \(\axz{}{}{}{x}\) ：
\[ \axz{}{}{}{x}=E[\axz{}{}{}{\angl{T_x}}]=\int_{0}^{\infty}e^{-\delta t} \px{t}{x}dt \]
3.2 定期生存年金
定期生存年金（Temporary annuity）：在合同期间内且年金受领人生存的前提下进行支付的生存年金。
- 每年年初给付1块钱的定期生存年金的保险金的期望现值 \(\axzz{}{}{}{x}\) ：
\[ \axzz{}{}{}{\endowxn}=E[\axzz{}{}{}{\angl{\min{(K_x +1},n)}}]=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]
- 每年年末给付1块钱的定期生存年金的保险金的期望现值 \(\ax{}{}{}{x}\) ：
\[ \ax{}{}{}{\endowxn}=E[\ax{}{}{}{\angl{\min{(K_x},n)}}]=\sum_{k=1}^{n}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]
3.3 延期终身生存年金
上述各类年金都有延期（deferred for a given term）的形式，即过了一段时间该年金才生效。延期年金（deferred annuities）和即期年金（immediate annuities）相对。
- 延期 \(n\) 年的每年年初给付1块钱的终身生存年金的保险金的期望现值 \(\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x}\) ：
\[ \actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot \axzz{}{}{}{x+n} \]
- 延期 \(n\) 年的每年年末给付1块钱的终身生存年金的保险金的期望现值 \(\actsymb{n|}{}{a}{}{x}\) ：
\[ \actsymb{n|}{}{a}{}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot \ax{}{}{}{x+n} \]
- 延期 \(n\) 年的连续给付，每年的支付强度为1的终身生存年金的保险金的期望现值 \(\axz{}{}{}{x}\) ：
\[ \actsymb{n|}{}{\bar{a}}{}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot \axz{}{}{}{x+n} \]
3.4 最低保证生存年金
最后还有一种年金是最低保证生存年金。
最低保证生存年金（Guaranteed annuity）：以年金受领人的整个未来生存期间或一个约定的支付期间两者中的较大值为支付期的生存年金。其支付期最少能够保证一个约定的期限。
- 每年年初给付1块钱的最低保证生存年金的保险金的期望现值 \(\axzz{}{}{}{\joint{\endowxn}}\) ：
\[ \axzz{}{}{}{\joint{\endowxn}}=E[\axzz{}{}{}{\angl{\max{(K_x +1},n)}}]=\axzz{}{}{}{\angln}+\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x} \]
- 每年年末给付1块钱的最低保证生存年金的保险金的期望现值 \(\ax{}{}{}{\joint{\endowxn}}\) ：
\[ \ax{}{}{}{\joint{\endowxn}}=E[\ax{}{}{}{\angl{\max{(K_x},n)}}]=\ax{}{}{}{\angln}+\actsymb{n|}{}{a}{}{x} \]
4 生命表
死亡概率和保险金的期望现值的数学公式是写出来了，但是如果在每次出售保险的时候都现场演算一遍，顾客是等不及的。所以我们需要把这些值提前算出来，并且列在生命表里，以便查阅。
1693年天文学家哈雷，以西里西亚的博莱斯洛市的市民死亡统计为基础，编制了世界第一张生命表，精确表示了每个年龄的死亡率，提供了寿险精算的计算依据。
4.1 分性别列示
CM1 : Actuarial Mathematics 科目里可以查的生命表是 Formulae and Tables for Examinations of the Faculty of Actuaries and the Institute of Actuaries, 2nd Edition (2002) (简称 Tables )，因为它的封壳是橙黄色的，所以通常也称作英精小黄书。
Tables里的生命表有：
- AM92，是考试中最常用的生命表，因为最全。在 Table P96。
- ELT15 (Males) 和 ELT15(Females)
- PMA92C20 和 PFA92C20
可以发现，大部分生命表都是分性别的（男性和女性列示于不同的表中）。这是因为性别也是影响死亡风险的一个重要因素。一般来说，女性的平均预期寿命高于男性。
生命表列示了不同年龄和性别下的生命表函数，这使得我们能够对不同年龄和性别的人收取不同等级的保费。
4.2 生命表函数
生命表的编制是从生命表函数（life table function） \(l_x\) 出发的。 \(l_{x}\) 定义为我们研究的目标人群在 \(x\) 岁的存活人数。这样，只要我们知道 \(l_{x}\)，我们就可以计算出生存概率 \(\px{t}{x}\) 和死亡概率 \(\qx{t}{x}\) :
- \(\px{t}{x}=\dfrac{l_{x+t}}{l_{x}}\)
- \(\qx{t}{x}=1-\px{t}{x}=\dfrac{l_{x}-l_{x+t}}{l_{x}}\)
- \(\qx{t|u}{x}=\px{t}{x}\cdot \qx{u}{x+t}=\dfrac{l_{x+t}-l_{x+t+u}}{l_{x}}\)
4.3 选择死亡率
前面我们提到的死亡概率只取决于该个体当前的年龄，称为终极死亡率（ultimate mortality）. 但由于保险公司会对刚投保的人群会采用医学核保等方式进行选择，因此刚投保的人的健康状况通常优于整体（population）。所以现在我们考虑死亡概率同时取决于投保人当前年龄和投保时年龄的情形。这种死亡率称为选择死亡率（select mortality）.
一个在 \(x\) 岁投保的个体称作在 \(x\) 岁被选择。 在一段时间 \(s\) 年过后，此次选择对未来的死亡率没有影响（其后的死亡率变为终极死亡率），使得选择有意义的该时间段 \(s\) 称为观察期（select period）我们把在 \(x\) 岁投保，当前年龄为 \(x+r\) 岁的个体记为 \([x]+ r\) .
每个选择生命表（select mortality table），都会有选择生命表函数，例如 \(\qx{}{[x] + r}\) , \(l_{[x] + r}\) （对于 \(r = 0,1,\cdots, s -1\)）；而对于 \(r \geq s\) , 死亡率只和年龄有关，即：\(\qx{}{x} = \qx{}{[x-r]+r}\).
4.4 期望现值
将对应的生存概率 \(\px{t}{x}\) 和死亡概率 \(\qx{t}{x}\)代入 \(A_x\) 和 \(\ddot{a}_x\) 的 \(\sum\) 求和式，就可以把离散型寿险和年金的期望现值也列示在生命表上。
连续型的寿险和年金在生命表中没法直接查到，要用到其与离散型寿险和年金的近似关系式。
关于寿险和年金在IFoA考试中如何查表，会在下期推文中讲解。
本文的知识点在《恋爱险精算》 中也有提到，之前有同学担心看那篇推文会把知识点搞混，现在不怕啦，快去看看吧~
下期预告
下一篇文章会讲简单寿险和年金如何查表，以及分红险期望现值的计算。
涉及的知识点将对应 CM1 2021 版 CMP 的以下章节：
- 17 Evaluation of assurances and annuities
- 18 Variable benefits and conventional with-profits policies
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