寿险精算——生命表 (1)

DesChen

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发布于：2021年1月18日

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生命表的基础介绍：符号说明、常用公式及其含义、易错点。

介绍

该章节是非常重要的章节之一，之后所有符号含义都基于该章节内容。

什么是生命表？

所谓生命表，就是采用表格的形式简单地表述了同时出生的一批人以怎样的死亡率陆续死亡的全部过程，它是研究人口死亡规律的有力工具。

符号声明

• Symbols: Meaning
• \(l_0\): Radix of the life table
• \(\omega\) : Limiting age of the life table, i.e. the maximum age in a life table
• \(l_x\): Number of survivors to exact age \(x\) (\(x=1,2,\cdots,\omega -1\))
• \(d_x\): Number of death between \(x\) and \(x + 1\)
• \(\actsymb{n}{}{d}{}{x}\): Number of death between \(x\) and \(x+n\)
• \(q_x\): Probability that \((x)\) dies by age \(x + 1\)
• \(\qx{n}{x}\): Probability that \((x)\) dies before age \(x+n\)
• \(\qx{t|}{x}\): Probability that \((x)\) dies between age \(x+t\) and age \(x+t+1\)
• \(\px{n}{x}\): Probability of \((x)\) survive to age \(x+n\)
• \(\actsymb{n}{}{L}{}{x}\): Total lifetime lived by \((l_x)\) between age \(x\) and age \(x + n\)
• \(T_x\): Total number of future years lived by \((l_x)\)
• \(\mathring{e}_x\): Average life expectancy for \((x)\)
• \(\qx{n|}{x}\): Probability that \((x)\) dies between age \(x+n\) and age \(x+n+1\)
• \(\qx{n|m}{x}\): Probability that \((x)\) dies between age \(x+n\) and age \(x+n+m\)

常用公式及其含义

第\(x\)年的生存人数减去第\(x\)年到第\(x+n\)年间的死亡人数，就是第\(x+n\)年的生存人数 \[ l_{n}- \actsymb{n}{}{d}{}{x}=l_{n+x} \] 由于我们定义极限年龄是人类无法达到的一个年龄，所以在极限年龄的人数为零 \[ l_{\omega}=0 \] 一个生命表的基础人数等于每一年死亡人数的总和，所以我们有 \[ l_{0}=\sum_{x=0}^{\omega-1} d_{x} \] 第\(x\)年到第\(x+n\)年的死亡率应该是这\(n\)年里的死亡人数和第\(x\)年的存活人数之比 \[ \qx{n}{x}=\frac{\actsymb{n}{}{d}{}{x}}{l_{x}} \] 在上式中，特别的，当\(n=1\)的时候，我们可以略去左下角的角标 \[ q_{x}=\frac{d_{x}}{l_{x}} \] 在第\(x\)年存活并在第\(x+t\)到第\(x+t+1\)年死亡的概率，可以表示为第\(x+t\)年到第\(x+t+1\)年死亡人数与第x年的存活人数的比值 \[ \qx{t|}{x}=\frac{d_{x+t}}{l_{x}} \] 第x年的人在第\(x+n\)年死亡的概率应该等于，第\(x\)年存活的人在接下来的\(n-1\)年中每一年死亡的概率之和 \[ \qx{n}{x}=\frac{\actsymb{n}{}{d}{}{x}}{l_{x}}=\sum_{t=0}^{n-1} \qx{t|}{x} \] 和死亡率的概率相似，第x年存活的人在第\(x+n\)年仍存活的概率，应该等于第\(x+n\)年存活的人数与第\(x\)年存活的人数之比 \[ \px{n}{x}=\frac{l_{x+n}}{l_{x}}=1-\qx{n}{x} \] 人数年(人年)是表示人群存活时间的复合单位，\(1\)个人存活\(1\)年是一人年，\(2\)个人每人存活半年也是\(1\)人年。在死亡人数服从均匀分布的假设下，\(x\)到\(x+n\)岁的死亡人平均来说存活了\(\frac{n}{2}\)年，而存活到\(x+n\)岁的人均活了\(n\)年，所以我们有 \[ \actsymb{n}{}{L}{}{x} \approx n{L_{x+n}}+\frac{n}{2}{\actsymb{n}{}{d}{}{x}}=\frac{n}{2}\left(l_{x}+l_{x+n}\right) \] \(x\)岁的人群未来累积生存人年数应该等于接下来每一年生存的人年数之和，同样在死亡人数服从均匀分布的假设下，有 \[ T_{x}=L_{x}+L_{x+1}+\cdots+L_{\omega-1}=\sum_{t=0}^{\omega-x-1} L_{x+t} \approx \sum_{t=0}^{\infty } \frac{1}{2}\left(l_{x+t}+l_{x+t+1}\right) \] 特别的，同一批出生人的平均寿命应该等于这一批人的未来累积生存人年数与人口基数的比值，假设死亡在每个年龄上均匀分布，有 \[ \overset{o}{e}=\frac{T_{0}}{l_{0}}=\frac{1}{l_{0}} \sum_{t=0}^{\omega-1}(t+\frac{1}{2}) d_{t} \] 在上式中，\(t+\frac{1}{2}\)是每个年龄死亡者的平均年龄，因此平均余寿是一个以各年龄死亡人数为权重的平均死亡年龄。

\(x\)岁的人存活\(n\)年并在第\(n+1\)年死亡的概率可以表示成第\(x+n\)年到第\(x+n+1\)年死亡的人数与第x年存活的人数的比值，同时对等式做一定的变形，可以得到 \[ \qx{n|}{x}=\frac{d_{x+n}}{l_{x}}=\frac{l_{x+n}}{l_{x}} \times \frac{d_{x+n}}{l_{x+n}}={\px{n}{x}} \times q_{x+n} \] 对\(x\)岁的人在\(x+n\)到\(x+n+m\)岁之间死亡的概率我们也可以做类似的解释，它也可以分成两个阶段，第一个阶段是\(x\)岁的人存活到第\(x+n\)年，并在\(x+n\)年到\(x+n+m\)年间发生死亡，用等式表示为 \[ \qx{n|m}{x}=\frac{\actsymb{m}{}{d}{}{x+n}}{l_{x}}=\frac{l_{x+n}-l_{x+n+m}}{l_{x}}=\px{n}{x}-\px{n+m}{x}=\px{n}{x} \times \qx{m}{x+n} \]

易错点

以下两个符号容易混淆：

• \(L_x\) 表示第\(x\)年到第\(x+1\)年群体存活总时间
• \(l_x\) 表示在第\(x\)年的存活人数。

比如，一个三人组成的群体，在第\(x\)年后，三个人分别活了\(0.2，0.6，1.2\)年，则 \[ L_x=0.2+0.6+1=1.8 \]

\[ l_x=3 \] 所以我们有以下不等式 \[ l_x>L_x>l_{x+1} \]

本页文档最后更新于：2024年6月28日

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