本文给出平均整值余寿的三种求解方法,前两种方法用的是离散型随机变量期望的定义,第三种方法利用了期望的变形公式。

本文作者 DesChen, 负责精算后花园论坛 actuarygarden.com 的校内精算课程版块,本文原载于他的公众号 We are Abel, 里面有挺多的学习笔记,欢迎大家关注。其中关于精算的18篇推文(偏中精风格)会陆续排版放在精算后花园的博客 actuarygarden.cn 上。

方法一

所谓平均整值余寿就是整值余寿\(K(x)\)的期望值,即\(E[K(x)]\),其中\(K(x)\)是一个离散型随机变量 ,它表示的是年龄为\(x\)的人的整值余寿,取值可以是任意的非负整数。于是我们有

\[ \begin{aligned} E[K(x)]&=\sum_{k=0}^{\infty} k \times \px{k}{x} \times \qx{}{x+k}\\\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} k \times \qx{k|}{x} \end{aligned} \]

同时由于在第\(x\)年到第\(x+1\)年生存的概率,是第\(x+1\)年开始\(x\)岁的人每一年死亡的概率之和;第\(x\)年到第\(x+2\)年生存的概率,是第\(x+2\)年开始\(x\)岁的人每一年死亡的概率之和\(\cdots \cdots\)以此类推,我们有 \[ \px{}{x} =\sum_{t=1}^{\infty} \qx{t|}{x} \] \[ \px{2}{x} =\sum_{t=2}^{\infty} \qx{k|}{x} \]

\[ \cdots \cdots \]

将其代入回第一条公式,可以得到 \[ \begin{aligned} &E[K(x)]=\sum_{k=0}^{\infty} k \times \qx{k|}{x}\\\\ &=\qx{1|}{x}+2 \times\qx{2|}{x}+3 \times\qx{3|}{x}+\cdots \\\\ &=\qx{1|}{x}+\qx{2|}{x}+\qx{3|}{x}+\cdots \\\\ &\quad \quad \quad+\qx{2|}{x}+\qx{3|}{x}+\cdots \\\\ &\quad \quad \quad\quad \quad\quad +\qx{3|}{x}+\cdots \\\\ &=\px{}{x}+\px{2}{x}+\px{3}{x}+\cdots \\\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \px{k+1}{x} \end{aligned} \]

方法二

方法二和方法一的差别仅在于最后一步的化简方式不同 \[ \begin{aligned} &E[K(x)]=\sum_{k=0}^{\infty} k \times \qx{k|}{x}\\\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} k\left(\px{k}{x}-\px{k+1}{x}\right)\\\\ &=\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \px{k}{x}-\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \px{k+1}{x}\\\\ &=\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \px{k}{x}-\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)\px{k}{x}\\\\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \px{k}{x} \end{aligned} \] 其中比较关键的步骤在于将\(\qx{k|}{x}\)变成第\(x\)年到第\(x+k\)年存活的概率减去第\(x\)年到第\(x+k+1\)年存活的概率,即\(\px{k}{x}-\px{k+1}{x}\)

方法三

由于\(K(x)\)是非负随机变量,我们可以引入\(K(x)\)的分布函数\(F(x)\) \[ \begin{aligned} &E[K(x)] =\int_{0}^{\infty}(1-F(x)) d x \\\\ &=\int_{0}^{\infty} \operatorname{Pr}(K(x)>x) d x \\\\ &=\sum_{j=0}^{\infty} \int_{j}^{j+1} \operatorname{Pr}(K(x)>x) d x \\\\ &=\sum_{j=0}^{\infty} \operatorname{Pr}(K(x)>j+1) \\\\ &=\sum_{j=0}^{\infty} \operatorname{Pr}(T(x)>j+1) \\\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \px{k+1}{x} \end{aligned} \] 第三种求解方法的技巧在于:

  • \(\int_{0}^{\infty} \operatorname{Pr}(K(x)>x) d x\)的积分区间分成无穷多个整数区间,再在各个整数区间积分并求和。

  • 研究\(\int_{j}^{j+1} \operatorname{Pr}(K(x)>X) d x\),在死亡均匀分布的假设下,K(x)的分布函数是一个单调递减,右连续的阶梯函数。每一级阶梯就是一个整数区间,每个整数区间的函数值是一条水平的直线,长度为1,所以在这个整数区间的积分等于这个整数区间的函数值。

  • 将整值余寿问题和连续余寿问题做了转化。

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