单利，复利和贴现率
人教版小学数学六年级下册第二单元课时4：利率
时光飞逝，转眼娃已经小学六年级了。给娃辅导寒假作业的时候，娃问了我一个问题：
什么是利率？
我正犹豫，虽说精算要从娃娃抓起，但是给小学生讲利息理论可能为时尚早了吧。一翻课本才发现，原来人教版小学数学六年级下册第二单元课时4已经在讲利率了。
行，反正精算也不过加减乘除。那就随便聊聊？
单利利率
当你把钱借给别人时，实际上是让渡了当前使用这笔钱进行消费的权利。为了对你进行补偿，债务人需要在未来偿还本金的时候额外支付一笔利息。1单位货币在1单位时间里产生的利息就是利率(rate of interest)，称为货币的时间价值(Time Value of Money).
小学课本里讲的是单利(simple rate of interest)的情况，利息的计算基础始终是原始本金。这也是国内银行存款利息的计算方式。例如你存入本金 \(C=1000\) 元，年利率 \(i=25\%\)，存期 \(n=3\) 年，则三年后能够连本带利收到 \(C(1+n i)=1000\times (1+3\times 25\%)=1750\) 元。
我们把上述例子中1750元这个“连本带利”的值称为积累值(Accumulated Value)，也叫做终值(Future Value)，记作 \(A(n)\).
相应地，在0时刻的“本金”值，我们称为现值(Present Value).
复利利率
另外一种计算利息的方式是复利(compound rate of interest)，即利滚利：过去年份里产生的利息和原始本金共同作为计算下一年利息时的本金。例如本金 \(C=1000\) 元，年利率 \(i=25\%\)，期限 \(n=3\) 年，则三年后的积累值 \(A(n)=C(1+i)^n=1000\times (1+25\%)^3=1953.125\) 元。
可以看到，以复利计算利息，积累值会比同样情况下的单利大不少。这就是复利的力量。
用更数学的语言，利率可以这样定义： \[ i_n=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)} \]
贴现率
还有另外一种计息方法叫贴现率(rate of discount)，它是这样定义的： \[ d_n=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n)} \]
由于贴现率在生活中并不常见，因此即便有计算公式，同学们还是很容易感到困惑。实际上，有一种高利贷和贴现率密切相关，叫做“砍头息”。
时间来到旧社会。地主黄世仁打算放1000元的高利贷给杨白劳，为期一年。黄世仁要求杨白劳在年末还给他1250元。杨白劳一算利率： \[ i=\frac{1250-1000}{1000}=25\% \]
\(25\%\) 的利率也太吓人了，杨白劳当即表示拒绝。
在另一个平行时空里，赛博朋克时代的黄世仁决定换种方式放贷给杨白劳。他对杨白劳说，我仍然放贷给你1000元。现在我只收取\(20\%\)的服务费，也就是200元，但是这笔服务费我需要当前就收走。当然因为已经支付了服务费，年末你就不用再给我额外的利息了，把1000元的本金还给我就行。
杨白劳一听，\(20\%\)貌似还能接受，没有\(25\%\)那么高，那我就借了吧。
实际上，在这个例子里，杨白劳只到手了800元本金，年末还了1000元，年利率： \[ i=\frac{1000-800}{800}=25\% \]
仍然是\(25\%\).
杨白劳以为的\(20\%\)是这样算出来的： \[ d=\frac{1000-800}{1000}=20\% \]
这就是砍头息的原理。黄世仁放贷的利率并没有降低，但他通过玩文字游戏，误导了缺乏专业知识的杨白劳。
为什么黄世仁要把这200元的砍头息称为“服务费”而非利息呢？因为法律上的利息对应利率 \(i\)，而贴现率是不得在合同中单独出现的。确需使用贴现率进行计算的，要标注出其等价的利率。为了规避法律风险，与时俱进的黄世仁使用了“服务费”的表述。
等价率
通过刚才的例子，我们可以发现，0时刻收200元，与1时刻收250元的效果是一样的。或者说，0时刻的 \(d\)，等价于1时刻的 \(i\)，因此： \[ d=\frac{i}{1+i} \]
所以你记住，高利贷害人不浅。长大以后也尽量别过多地超前消费。
行，今天的利息理论就讲到这里，下课。
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