精算每日一题 001｜寿险现值随机变量的书写

从寿险或年金的期望现值符号，如何写出对应的现值随机变量？关键是先看清给付时点，再确定使用未来寿命 \(T_x\)，还是取整未来寿命 \(K_x\)。

科目： IFoA CM1（原 CT5） · 考点： 寿险和年金现值随机变量（PVRV）的书写

题目

CT5 April 2014 Q8

In the context of random variables define \(T_x\) and \(K_x\).

State the random variable for the following expected values:

\(\bar{A}_x\)

\(a_x\)

\(A_{[x]:\overline{n}|}\)

\({}_{5|}\ddot{a}_x\)

中文释义

定义随机变量 \(T_x\) 和 \(K_x\)。
分别写出以下期望现值所对应的现值随机变量：

先独立写出各小问的表达式，再展开下面的解析。

答案与解析

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思路

第 (i) 小问要求写出 \(T_x\) 和 \(K_x\) 的定义，较为简单。第 (ii) 小问考察寿险现值随机变量（PVRV）的书写，其中 (a)–(c) 可以直接写出答案，(d) 需要稍加思考。

本题的知识点也可以用未来损失随机变量的书写来考察（在准备金一章我们会学）。

(i) 定义 \(T_x\) 和 \(K_x\)

\(T_x\) is the total future lifetime of an ultimate life aged \(x\).

即一个当前年龄为 \(x\) 的终极生命，从现在起还能生存的时间。

\(K_x\) is the curtate future lifetime of an ultimate life aged \(x\).

即这个生命未来还能完整生存的年数。

两者的关系是：\(K_x=\lfloor T_x\rfloor\)

(ii) 写出现值随机变量

死亡时立即给付的保险金现值随机变量用 \(T_x\) 相关的函数写，死亡年度末给付的保险金现值随机变量用 \(K_x\) 相关的函数写。

\[ PV=v^{T_x} \]

\[ PV= \begin{cases} v^{K_{[x]}+1}, & K_{[x]}<n\\ v^n, & K_{[x]}\ge n \end{cases} \]

注意这里的第一行不要写成 \(K_{[x]}\le n\)，因为 \(K_{[x]}=n\) 代表保单期限过去以后的第一年发生的死亡。至于这里 \(v\) 的指数为什么是 \(K_{[x]}+1\) 而不是 \(K_{[x]}\)，我们可以用 \(K_{[x]}=0\)（死亡发生在第一年）进行简单的验证。

也可以写成 \(PV=a_{\overline{K_x}|}\)

\[ PV=v^{\min\{K_{[x]}+1,n\}} \]

\[ PV= \begin{cases} 0, & K_x<5\\ v^5\ddot{a}_{\overline{K_x-4}|}, & K_x\ge5 \end{cases} \]

这里我们需要考虑一下 \(K_{[x]}\) 的取值。当 \(K_{[x]}=0-4\) 时（含），该年金不发生给付。当 \(K_{[x]}=5\) 时，该个体在 \(t=5\) 到 \(t=6\) 之间死亡，因此在 \(t=5\) 发生一次给付，给付的保险金现值可以写成 \(v^5=v^5\ddot{a}_{\overline{1}|}\)；当 \(K_{[x]}=6\) 时，在 \(t=5\) 和 \(t=6\) 各发生一次给付，给付的保险金现值可以写成 \(v^5+v^6=v^5\ddot{a}_{\overline{2}|}\)；当 \(K_{[x]}=7\) 时，在 \(t=5\)、\(t=6\) 和 \(t=7\) 各发生一次给付，给付的保险金现值可以写成 \(v^5+v^6+v^7=v^5\ddot{a}_{\overline{3}|}\)。

也可以写成

\[ PV= \begin{cases} 0, & K_x<5\\ a_{\overline{K_x}|}-a_{\overline{4}|}, & K_x\ge5 \end{cases} \quad\text{或}\quad PV=v^5\ddot{a}_{\overline{\max(K_x-4,0)}|} \]