每年递增的还款中，有多少是在支付利息，有多少是在偿还本金？如果还款过程中调整利率，又该以哪个时点的贷款余额重新计算？
科目： IFoA CM1（原 CT1） · 考点： 分期偿还计划（loan schedule）与递增年金
题目
CT1 September 2017 Q8
A loan is to be repaid by an increasing annuity. The first payment will be £100 and the payments will increase by £50 per annum. Payments will be made annually in arrear for ten years. The repayments are calculated using a rate of interest of 5% per annum effective.
Calculate the amount of the loan.
Calculate:
the interest component of the sixth instalment.
the capital component of the sixth instalment.
Immediately after the sixth instalment, the borrower asks to repay the remaining loan using level annual instalments. The lender agrees, but changes the interest rate at the time of the alteration to 6% per annum effective.
- Calculate the revised instalment.
中文释义
一笔贷款采用递增年金方式偿还，共偿还 10 年，每年年末支付一次。第一笔还款为 £100，此后每年的还款额增加 £50。采用的年利率为 5%。
- 求贷款初始金额。
- 求第 6 笔还款中的利息部分和本金部分。
- 在第 6 笔还款刚刚支付后，借款人希望将剩余贷款改为每年等额偿还。贷款人同意，但从调整时起，将年利率改为 6%。求剩余期限内每年的新还款额。
先独立作答，再展开下面的解析。
答案与解析
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思路
本题比较常规，注意这里的每期偿还额不是等额的，需要用递增年金进行计算。另外每年支付 \(m\) 次的题型也需要掌握，章后习题就是这样一道题。Table Page 57 可以查到 5% 利率下的 \(a_{\overline{10}|}\) 和 \((Ia)_{\overline{10}|}\) 的值。
各小问的结果为：
| 小问 | 所求金额 |
|---|---|
| (i) 贷款初始金额 | £2,354.78 |
| (ii)(a) 第 6 笔还款中的利息 | £96.36 |
| (ii)(b) 第 6 笔还款中的本金 | £253.64 |
| (iii) 调整后的每年还款额 | £482.96 |
以下用 \(L_t\) 表示第 \(t\) 次还款刚刚支付后的未偿贷款余额（loan outstanding），用 \(X_t\) 表示第 \(t\) 次还款额。
(i) 计算贷款初始金额
各年的还款额依次为：
\[ 100,150,200,\ldots,550. \]
因此第 \(t\) 年的还款额为：
\[ X_t=50t+50, \qquad t=1,2,\ldots,10. \]
将每笔还款按 5% 的年利率贴现，得到贷款初始金额：
\[ \begin{aligned} L_0 &=\sum_{t=1}^{10}(50t+50)v^t\\ &=50(Ia)_{\overline{10}|}+50a_{\overline{10}|}\\ &\approx\boxed{\text{£}2{,}354.78}, \end{aligned} \]
其中 \(v=(1.05)^{-1}\)，且 \((Ia)_{\overline{n}|}=\sum_{k=1}^{n}kv^k\)。
注意这里每期还款额递增，不能把它直接当作等额年金。
(ii) 拆分第 6 笔还款中的利息和本金
第 6 笔还款中的利息，来自第 5 次还款之后仍未偿还的贷款。因此，先求 \(L_5\)。
第 5 次还款刚刚支付后，未来还有 5 笔还款，金额分别为：
\[ 350,400,450,500,550. \]
在 \(t=5\) 时点，用未来法计算这些还款的现值：
\[ \begin{aligned} L_5 &=350v+400v^2+450v^3+500v^4+550v^5\\ &=50(Ia)_{\overline{5}|}+300a_{\overline{5}|}\\ &=1{,}927.162673\ldots. \end{aligned} \]
(a) 利息部分
第 6 笔还款中的利息为：
\[ b_6=iL_5 =0.05\times1{,}927.162673\ldots \approx\boxed{\text{£}96.36}. \]
(b) 本金部分
第 6 笔还款额为 \(X_6=350\)，扣除利息后，余下的才用于偿还本金：
\[ f_6=X_6-b_6 =350-96.358134\ldots \approx\boxed{\text{£}253.64}. \]
(iii) 调整利率后，重新计算等额还款
第 6 笔还款刚刚支付后的贷款余额为：
\[ \begin{aligned} L_6 &=L_5-f_6\\ &=L_5(1.05)-350\\ &=1{,}673.520807\ldots. \end{aligned} \]
此时还剩 4 年，即在 \(t=7,8,9,10\) 各还款一次。
设新的等额年还款额为 \(X\)。从 \(t=6\) 起采用 6% 的年利率，因此：
\[ Xa_{\overline{4}|}^{(6\%)}=L_6, \]
其中上标 \((6\%)\) 用于标明年金因子采用的利率：
\[ a_{\overline{4}|}^{(6\%)} =\frac{1-(1.06)^{-4}}{0.06} =3.465105613\ldots. \]
于是：
\[ X=\frac{1{,}673.520807\ldots}{3.465105613\ldots} \approx\boxed{\text{£}482.96}. \]
注意，先按原利率完成第 6 笔还款，再以剩余贷款 \(L_6\) 为基础，用新利率计算之后的还款。
方法小结
分期付款表问题的总逻辑：每一期的支付，都是把上一期未偿还完的贷款产生的利息先付掉，余下的再偿还本金部分。
第一步，用过去法或者未来法计算 loan outstanding at \(t\)：\(L_t\)（\(t\) 时刻的支付后还未偿还完的贷款）。计算的时刻为 just after the payment.
\[ L_t=X_{t+1}v+X_{t+2}v^2+X_{t+3}v^3+\cdots+X_nv^{n-t} \]
\[ L_t=L_0(1+i)^t-\left(X_1(1+i)^{t-1}+X_2(1+i)^{t-2}+\cdots+X_{t-1}(1+i)+X_t\right) \]
第二步，计算每次支付款项的利息部分 \(b_t\) 和本金部分 \(f_t\)。
单次支付中本金和利息部分分解的步骤
- 计算 \(L_{t-1}\)（用过去法或未来法）
- \(t\) 时刻 \(X_t\) 中的利息部分 \(b_t=iL_{t-1}\)
- \(t\) 时刻 \(X_t\) 中的本金部分 \(f_t=X_t-b_t=X_t-iL_{t-1}\)
一系列支付中本金和利息部分分解的步骤（Example: \(t+1\) 到 \(t+5\)（含）的五笔支付）
5 次支付中偿还的本金部分总共为：\(L_t-L_{t+5}\)
\(t+1\) 到 \(t+5\)（含）总共偿还的利息部分为：
\[ \sum_{k=t+1}^{t+5}b_k =\left(X_{t+1}+X_{t+2}+\cdots+X_{t+5}\right)-\left(L_t-L_{t+5}\right) \]
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