精算每日一题 004｜一道会说谎的排列组合题

一个委员会共有 7 人，每周从中选出 4 人组成小组，再从这 4 人中指定一人担任 chair，另一人担任 secretary。

如果不允许出现“同样的 4 人曾经在同一位 chair 带领下共事”的重复情况，最多可以连续安排多少周？

正确答案是 （B）140 周。

第一反应：先安排 chair 和 secretary

刚开始看题的时候，我也想当然地列了这个式子：

\[ A_7^2\binom{5}{2}=7\times6\times10=420. \]

先从 7 人中依次选出 chair 和 secretary，再从剩下的 5 人中选出另外两名成员。这确实数出了所有“四人名单＋chair＋secretary”的安排。

但题目对“重复”的定义，并没有要求这三项都相同。

关键：怎样才算重复

题目最后一句的意思是，只要同时满足以下两个条件，就算重复：

1. 小组由同样的 4 人组成；
2. chair 是同一个人。

secretary 是否相同，不影响重复的判定。

例如，小组成员都是 A、B、C、D，chair 都是 A。即使第一周由 B 担任 secretary，第二周换成 C，第二周仍然已经重复。

所以，这道题真正需要计数的是“四人名单＋chair”的不同配置。

正确计数：选 chair，再选其余三人

chair 有 7 种选法；确定 chair 后，再从剩下的 6 人中选出 3 人：

\[ 7\binom{6}{3}=7\times20=140. \]

也可以先选出 4 人，再从中指定 chair，得到相同的结果：

\[ \binom{7}{4}\times4=35\times4=140. \]

回头看最初的 420：固定四人名单和 chair 后，其余 3 人都可以担任 secretary。这 3 种 secretary 安排，在本题中属于同一种配置，因此原来的算法把每种配置数了 3 次：

\[ 420=140\times3. \]

为什么最多是 140 周

共有 140 种不同的“四人名单＋chair”配置。每种配置安排一次，就可以连续 140 周不重复；到第 141 周时，无论如何安排，都必然与之前某一周重复。

因此，最多可以连续 140 周不重复，选 （B）。