精算每日一题 002｜寿险 EPV 的递归公式

已知死亡年度末给付的终身寿险的期望现值 \(A_{40}=0.35\)，一年生存概率 \(p_{40}=0.9\)，年利率 \(i=4\%\)，求 \(A_{41}\)。

答案为：

\[ \boxed{A_{41}\approx0.2933}. \]

建立递归关系

\(A_x\) 的递归公式为：

\[ A_x=vq_x+vp_xA_{x+1}. \]

这个式子可以直接按照第一年的两种情况理解：

• 第一年死亡： 概率为 \(q_x\)，保险金在第一年年末给付，其现值贡献为 \(vq_x\)；
• 生存至第一年末： 概率为 \(p_x\)。此时被保险人年龄为 \(x+1\)，后续给付在该时点的期望现值为 \(A_{x+1}\)，再贴现一年，得到 \(vp_xA_{x+1}\)。

将两部分相加，就得到上述递归关系。

用求和式推导

也可以从 \(A_x\) 的定义出发，将第一项单独提出：

\[ \begin{aligned} A_x &=\sum_{k=0}^{\omega-x-1}{}_kp_x\,v^{k+1}q_{x+k}\\ &=vq_x+v^2p_xq_{x+1} +v^3{}_2p_xq_{x+2}+\cdots\\ &=vq_x+vp_x\left( vq_{x+1}+v^2p_{x+1}q_{x+2} +v^3{}_2p_{x+1}q_{x+3}+\cdots \right)\\ &=vq_x+vp_xA_{x+1}. \end{aligned} \]

其中 \(\omega\) 表示生命表的极限年龄。括号中的部分，正是以年龄 \(x+1\) 为起点的终身寿险期望现值。

代入已知条件

先求一年死亡概率和贴现因子：

\[ q_{40}=1-p_{40}=0.1, \qquad v=\frac{1}{1.04}. \]

在递归式中令 \(x=40\)：

\[ A_{40}=vq_{40}+vp_{40}A_{41}. \]

代入数值：

\[ 0.35=\frac{0.1}{1.04} +\frac{0.9}{1.04}A_{41}. \]

因此：

\[ \begin{aligned} A_{41} &=\frac{(1+i)A_{40}-q_{40}}{p_{40}}\\ &=\frac{1.04\times0.35-0.1}{0.9}\\ &=0.293333\ldots\\ &\approx\boxed{0.2933}. \end{aligned} \]