利物浦 MATH273 & 西浦 MATH217（寿险精算1）复习课讲义
前段时间 Jackie 做利物浦 MATH273 寿险精算 1 课程的在线辅导，根据近三年常考题型总结了一份复习课讲义，和大家做一分享。 MATH 273 和西交利物浦大学的 MATH 217 课程内容完全一致，和其他学校的寿险精算1课程内容也相近。
\(S_{x}(t)\)是生存函数的条件
作为生存函数，\(S_{x}(t)\) 必须满足如下三个条件：
- \(S_{x}(0)=P(T_{x}> 0)=1\)
- \(\lim\limits_{x\to \infty}S_{x}(t)=\lim\limits_{x\to \infty}P(T_{x}> t)=0\)
- \(S_{x}(t)\)关于 \(t\) 是非增的（导函数小于等于0）
通过\(S_{0}(t)\)或\(F_{0}(t)\)计算 \(\px{t}{x}\) 、\(\qx{t}{x}\) 和 \(\mu_{x}\)
\[\px{t}{x}=S_{x}(t)=\dfrac{S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}=\dfrac{1-F_{0}(x+t)}{1-F_{0}(x)}\]
\[\mu_{x}=\dfrac{f_{0}(x)}{S_{0}(x)} =-\frac{1}{S_{0}(x)} \cdot \frac{d}{d_{x}} S_{0}(x) =-\frac{\partial}{\partial x} \log S_{0}(x)\]
余命期望的计算
\[ \mathring{e_x}=E[T_{x}]=\int_{0}^{\infty}\px{t}{x}dt \] \[ e_{x}=E[K_{x}]=\sum_{k=0}^{\infty}k \cdot P(K_{x}=k)=\sum_{k=1}^{\infty}\px{k}{x} \]
非整数年龄 \(p\) 概率和 \(q\) 概率的近似
先来看两个通用的公式：
Integral expression for \(\qx{t}{x}\):
\[ \qx{t}{x}=\int_{0}^{t}\px{s}{x}\mu_{x+s}ds \]
Formula for \(\px{t}{x}\) in terms of \(\mu\): \[ \px{t}{x}=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds) \]
在UDD和CFM假设下，非整数年龄的 \(p\) 概率和 \(q\) 概率可以做进一步地近似：
Uniform distribution of deaths assumption (UDD)
假设对于整数年龄 \(x\) ，和 \(0\leq t \leq 1\)，余命的概率密度函数 \(f_{T_{x}}(t) =\px{t}{x}\mu_{x+s}\) 为常数，则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 \(q\) 概率： \[ \left\{ \begin{array}{cc} {\qx{t}{x}=t\qx{}{x}} & {0\leq t \leq 1}\\ {\qx{t-s}{x+s}=\frac{(t-s)\qx{}{x}}{1-s\qx{}{x}}} & {0\leq s < t \leq 1} \end{array} \right. \]
在 UDD 假设下， \(l_{x}\) 在整数年龄间是线性函数，所以我们也可以用下列公式近似： \[ l_{x+t}=l_{x}-td_{x}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1} \]
Constant force of mortality assumption (CFM)
假设对于整数年龄 \(x\)，和 \(0\leq t \leq 1\)，死亡力函数 \(\mu_{x+t} =\mu\) 是一个常数，，则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 \(p\) 概率： \[ \left\{ \begin{array}{c} {\px{t}{x}=e^{-t\mu}=(p_{x})^{t} }\\ {\px{t-s}{x+s}=e^{-(t-s)\mu}=(p_{x})^{t-s}} \end{array} \right. \]
阐述 \(p\) 概率，\(q\) 概率，寿险和年金EPV的符号含义
见推文 《如何有效记忆寿险精算符号》
写出未来损失的随机变量
\(t\) 时刻未来损失的随机变量（Future loss random variable）记为 \(L_t\)：
\(L_t\)=PV at \(t\) of future benefits + PV at \(t\) of future expenses - PV at \(t\) of future premiums.
例如，对于一个死亡年度末给付的终身寿险，the gross future loss random variable at the outset is: \[ L_0=(S+f)v^{K_{x}+1}+I+e(\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}}-1)-P\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}} \]
需要熟练掌握寿险和年金的现值随机变量的书写。
等价原则下保费的计算
令 \(E(L_0)=0\) 计算出的保费。也就是说：
EPV of premiums = EPV of benefits + EPV of expense.
例如，对于一个死亡年度末给付的终身寿险： \[ P\axzz{}{}{}{x}=(S+f)\Ax{}{}{}{x}+I+e(\axzz{}{}{}{x}-1) \]
计算满足某个概率的保费或计算某个特定保费下的损失概率
可以列出式子：\(P\left(L_{0}>0\right) \leq \alpha\)，将未来损失的随机变量代入公式，并将其中的 \(K_x\) 分离出来，转换为 \(\px{t}{x}\)，查表求解。
准备金的计算
主要考未来法准备金（prospective reserve）。
一个 发行了 \(t\) 年的保单的保单价值（policy value）或者未来法准备金（prospective reserve）（寿险1中可认为两者为相同概念）记为\({}_{t}V\) ，表示 \(t\) 时刻 future loss random variable的期望值。
\(\Vx{t}{}\)=EPV at \(t\) of future benefits + expenses - EPV at \(t\) of future premiums.
例如，对于一个死亡时立即给付的终身寿险： \[ \Vx{t}{}^{\text{pro}}=S\Axz{}{}{}{x+t}+e\axzz{}{}{(m)}{x+t}+f\Axz{}{}{}{x+t}-G\axzz{}{}{(m)}{x+t} \]
可变保额情况下的保费和准备金计算
保额可以是单利（simple bonus）增长或复利（compound bonus）增长。单利增长的情况用递增寿险或递增年金的公式求解。复利增长的情况见 带分红寿险两种形式的复利bonus
Annual profit
\[ PRO_{t}=\left(\Vx{t}{}^{\prime}+G-e\right)(1+i)-q_{x+t}(S+f)-p_{x+t}\cdot \Vx{t+1}{}^{\prime} \]
其中只有保费 \(G\) 和准备金是 \(\Vx{t}{}\) 按照计算保费时的假设算出来的，其余均是按照这一年里实际情况来（投资收益率、死亡率和费用率）。
Asset shares
类似过去法准备金的计算。记 \(AS_{t}\) 为 \(t\) 时刻的asset share，则将所收保费累积到 \(t\) 时刻并减去保险金和索赔费用，再除以有效保单的数目，即可得到 asset share.
如果实际的投资收益率、死亡率和费用率和假设的相同，asset share 应当等于 policy value。那么考试要求评论两者差别时就可以根据投资收益率、死亡率和费用率三方面的差别来讲。
Thiele's differential equation
\[ \frac{d}{dt} \Vx{t}{x}=\delta_{t}\cdot \Vx{t}{x}+P_{t}-e_{t}-(S_{t}+E_{t}-\Vx{t}{x})\mu_{[x]+t} \]
是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分：利息增长；保费收入；费用支出；死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。
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