前段时间 Jackie 做利物浦 MATH273 寿险精算 1 课程的在线辅导,根据近三年常考题型总结了一份复习课讲义,和大家做一分享。 MATH 273 和西交利物浦大学的 MATH 217 课程内容完全一致,和其他学校的寿险精算1课程内容也相近。

\(S_{x}(t)\)是生存函数的条件

作为生存函数,\(S_{x}(t)\) 必须满足如下三个条件:

  • \(S_{x}(0)=P(T_{x}> 0)=1\)
  • \(\lim\limits_{x\to \infty}S_{x}(t)=\lim\limits_{x\to \infty}P(T_{x}> t)=0\)
  • \(S_{x}(t)\)关于 \(t\) 是非增的(导函数小于等于0)

通过\(S_{0}(t)\)\(F_{0}(t)\)计算 \(\px{t}{x}\)\(\qx{t}{x}\)\(\mu_{x}\)

\[\px{t}{x}=S_{x}(t)=\dfrac{S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}=\dfrac{1-F_{0}(x+t)}{1-F_{0}(x)}\]

\[\mu_{x}=\dfrac{f_{0}(x)}{S_{0}(x)} =-\frac{1}{S_{0}(x)} \cdot \frac{d}{d_{x}} S_{0}(x) =-\frac{\partial}{\partial x} \log S_{0}(x)\]

余命期望的计算

\[ \mathring{e_x}=E[T_{x}]=\int_{0}^{\infty}\px{t}{x}dt \] \[ e_{x}=E[K_{x}]=\sum_{k=0}^{\infty}k \cdot P(K_{x}=k)=\sum_{k=1}^{\infty}\px{k}{x} \]

非整数年龄 \(p\) 概率和 \(q\) 概率的近似

先来看两个通用的公式:

Integral expression for \(\qx{t}{x}\):

\[ \qx{t}{x}=\int_{0}^{t}\px{s}{x}\mu_{x+s}ds \]

Formula for \(\px{t}{x}\) in terms of \(\mu\): \[ \px{t}{x}=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds) \]

在UDD和CFM假设下,非整数年龄的 \(p\) 概率和 \(q\) 概率可以做进一步地近似:

Uniform distribution of deaths assumption (UDD)

假设对于整数年龄 \(x\) ,和 \(0\leq t \leq 1\),余命的概率密度函数 \(f_{T_{x}}(t) =\px{t}{x}\mu_{x+s}\) 为常数,则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 \(q\) 概率: \[ \left\{ \begin{array}{cc} {\qx{t}{x}=t\qx{}{x}} & {0\leq t \leq 1}\\ {\qx{t-s}{x+s}=\frac{(t-s)\qx{}{x}}{1-s\qx{}{x}}} & {0\leq s < t \leq 1} \end{array} \right. \]

在 UDD 假设下, \(l_{x}\) 在整数年龄间是线性函数,所以我们也可以用下列公式近似: \[ l_{x+t}=l_{x}-td_{x}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1} \]

Constant force of mortality assumption (CFM)

假设对于整数年龄 \(x\),和 \(0\leq t \leq 1\),死亡力函数 \(\mu_{x+t} =\mu\) 是一个常数,,则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 \(p\) 概率: \[ \left\{ \begin{array}{c} {\px{t}{x}=e^{-t\mu}=(p_{x})^{t} }\\ {\px{t-s}{x+s}=e^{-(t-s)\mu}=(p_{x})^{t-s}} \end{array} \right. \]

阐述 \(p\) 概率,\(q\) 概率,寿险和年金EPV的符号含义

见推文 《如何有效记忆寿险精算符号》

写出未来损失的随机变量

\(t\) 时刻未来损失的随机变量(Future loss random variable)记为 \(L_t\)

\(L_t\)=PV at \(t\) of future benefits + PV at \(t\) of future expenses - PV at \(t\) of future premiums.

例如,对于一个死亡年度末给付的终身寿险,the gross future loss random variable at the outset is: \[ L_0=(S+f)v^{K_{x}+1}+I+e(\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}}-1)-P\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}} \]

需要熟练掌握寿险和年金的现值随机变量的书写。

等价原则下保费的计算

\(E(L_0)=0\) 计算出的保费。也就是说:

EPV of premiums = EPV of benefits + EPV of expense.

例如,对于一个死亡年度末给付的终身寿险: \[ P\axzz{}{}{}{x}=(S+f)\Ax{}{}{}{x}+I+e(\axzz{}{}{}{x}-1) \]

计算满足某个概率的保费或计算某个特定保费下的损失概率

可以列出式子:\(P\left(L_{0}>0\right) \leq \alpha\),将未来损失的随机变量代入公式,并将其中的 \(K_x\) 分离出来,转换为 \(\px{t}{x}\),查表求解。

准备金的计算

主要考未来法准备金(prospective reserve)。

一个 发行了 \(t\) 年的保单的保单价值(policy value)或者未来法准备金(prospective reserve)(寿险1中可认为两者为相同概念)记为\({}_{t}V\) ,表示 \(t\) 时刻 future loss random variable的期望值。

\(\Vx{t}{}\)=EPV at \(t\) of future benefits + expenses - EPV at \(t\) of future premiums.

例如,对于一个死亡时立即给付的终身寿险: \[ \Vx{t}{}^{\text{pro}}=S\Axz{}{}{}{x+t}+e\axzz{}{}{(m)}{x+t}+f\Axz{}{}{}{x+t}-G\axzz{}{}{(m)}{x+t} \]

可变保额情况下的保费和准备金计算

保额可以是单利(simple bonus)增长或复利(compound bonus)增长。单利增长的情况用递增寿险或递增年金的公式求解。复利增长的情况见 带分红寿险两种形式的复利bonus

Annual profit

\[ PRO_{t}=\left(\Vx{t}{}^{\prime}+G-e\right)(1+i)-q_{x+t}(S+f)-p_{x+t}\cdot \Vx{t+1}{}^{\prime} \]

其中只有保费 \(G\) 和准备金是 \(\Vx{t}{}\) 按照计算保费时的假设算出来的,其余均是按照这一年里实际情况来(投资收益率、死亡率和费用率)。

Asset shares

类似过去法准备金的计算。记 \(AS_{t}\)\(t\) 时刻的asset share,则将所收保费累积到 \(t\) 时刻并减去保险金和索赔费用,再除以有效保单的数目,即可得到 asset share.

如果实际的投资收益率、死亡率和费用率和假设的相同,asset share 应当等于 policy value。那么考试要求评论两者差别时就可以根据投资收益率、死亡率和费用率三方面的差别来讲。

Thiele's differential equation

\[ \frac{d}{dt} \Vx{t}{x}=\delta_{t}\cdot \Vx{t}{x}+P_{t}-e_{t}-(S_{t}+E_{t}-\Vx{t}{x})\mu_{[x]+t} \]

是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分:利息增长;保费收入;费用支出;死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。

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