如何理解有效业务价值和新业务价值

有效业务价值和新业务价值计算原理和公式推导，看这一篇就够了。

在《情人节过后，你的偿付能力还充足吗》中，Jackie已经介绍过内含价值(Embedded Value, EV)的基础概念：内含价值等于调整净资产加有效业务价值。

其中，精算师更关注的是有效业务价值(Value of Inforce Business, VIF)：有效业务价值等于有效业务未来可分配盈余(Distributable Earnings, DE)的现值扣除评估时点 $T$ 的要求资本(Required Capital, RC)，即：

\[ \text{VIF}_T = \text{PVDE} - \text{RC}_T \]

这是我们通常使用的计算公式，但同学们经常会对此感到困惑：为什么要这样计算？

要想明白个中原理，我们需要换个角度重新理解有效业务价值。有效业务价值是公司的有效业务未来预期能够实现的利润。但是公司利润中，扣除用于支持业务的资本要求后，才能用于分配，而持有该部分资本将产生成本。

因此，有效业务价值等于业务盈余现值(PVBP) 减去持有要求资本成本的现值(PVCoC)：

\[ \text{VIF} = \text{PVBP}-\text{PVCoC} \]

其中，税后业务盈余(Book Profits, BP) 等于未来经营性净现金流（Net Operating CashFlow, NOCF）加上相应负债投资收益，减去相应负债提转差，再扣除对应的税收：

\[ \text{BP}_t = \left(\text{NOCF}_t + \text{Investment}_t^{\text{Liability}}-\Delta \text{Liability}_t \right)-\text{Tax}_t^{\text{Profit}} \]

投资者希望实现的回报率是风险贴现率(risk discount rate, RDR)。但是在要求资本上的投资收益率只有 $i_t$，因此持有要求资本成本(Cost of Capital, CoC) 等于两者之差：

\[ \text{Cost of Capital}_t=RC_{t-1}\times (RDR-i_t) \]

再回忆一下Jackie在之前的文章中提到的，可分配盈余(DE)等于税后业务盈余(BP)加上税后要求资本投资收益($\text{Investment}_t^{RC\mid \text{after tax}}$)减去要求资本提转差($RC_t $)：

\[ \text{DE}_t = \text{BP}_t + \text{Investment}_t^{RC\mid \text{after tax}} - \Delta \text{RC}_t \]

接下来，我们从定义式 $\text{VIF} = \text{PVBP}-\text{PVCoC}$ 推导变形式： $\text{VIF} = \text{PVDE} - \text{RC}$ .

为简化推导过程，不考虑税收：

\[ \text{DE}_t =\text{BP}_t+(i_t\times \text{RC}_{t-1})-(\text{RC}_{t}-\text{RC}_{t-1}) \]

将上式稍作变形，加上并减去$RDR\times RC_{t-1}$这一项，得到：

\[ \begin{aligned} \text{DE}_t&=\text{BP}_t-\left( (\text{RDR}-i_t)\times \text{RC}_{t-1}\right)\\ &+\left( (1+\text{RDR})\times \text{RC}_{t-1}\right)-\text{RC}_{t} \end{aligned} \]

先在整个保险期间对第一行公式进行求和。根据有效业务价值的标准定义：有效业务价值(VIF) $=$ 盈余现值(PVBP) $-$ 持有要求资本成本的现值(PVCoC)，因此对第一行公式$\text{BP}_t-\left( (\text{RDR}-i_t)\times \text{RC}_{t-1}\right)$在整个保险期间进行求和，正好能得到有效业务价值VIF。

再在整个保险期间对第二行公式进行求和。因为初始的要求资本随着时间的推移，最终会变为零。因此我们可以将要求资本类比为贷款余额（loan outstanding）（对应知识点见：英国精算师考试CM1科目的分期偿还计划Loan schedules章节）。$\left( (1+\text{RDR})\times \text{RC}_{t-1}\right)-\text{RC}_{t}$ 即每期的偿还额中偿还的本金部分（capital components of the t-th repayment）。显然，求和后得到的是初始的贷款余额，即当前时刻的要求资本RC。

因此：

\[ \text{PVDE} = \text{VIF} + \text{RC} \Rightarrow \text{VIF} = \text{PVDE} - \text{RC} \]

在评估时点$T$, 有效业务价值(VIF)等于可分配盈余现值(PVDE)减要求资本(RC):

\[ \text{VIF}_T = \text{PVDE} - \text{RC}_T= \sum_{t>T} \frac{\text{DE}_t}{(1+\text{RDR})^{t-T}} - \text{RC}_T \]

作为一名产品开发人员，我们只需要计算新业务价值(Value of New Business, VNB)，即在报告期间销售的新保单在签单时的价值。我们把签单时刻记作在0时刻。

同时，我们知道，$\text{RC}_0=0$.

因此，新业务价值 (VNB) 即0时刻的有效业务价值 $\text{VIF}_0$ ，其计算公式为：

\[ \text{VNB} = \text{PVDE} = \sum_{t>0} \frac{\text{DE}_t}{(1+\text{RDR})^{t}} \]