Love Contingencies

前言

所谓风险,就是指“一种未来的不确定性”。有什么比恋爱更具有不确定的未来呢?随着生活节奏的加快,恋爱风险已经越来越受到大家的重视。在此背景下,Jackie 在这里讲授《恋爱险精算》的课程,作为给读者们的七夕礼物。

从数学角度看,风险是事件的损失频率和损失强度的函数。在恋爱险精算中:

  • 损失频率对应的是分手概率

  • 损失强度对应的是保险金额

要计算恋爱保险合同约定的保险金的期望现值,就需要同时知道分手概率给付金额

我们从分手概率讲起

1 恋爱生存模型

1.1 恋爱余命的定义

我们用 \((x)\) 表示当前已经开始恋爱 \(x\) (下文简称恋爱年龄\(x\) 岁)的个体(a life fell in love for \(x\) years),其中 \(x \geq 0\)​.

根据生活经验容易知道,分手概率与恋爱年龄相关,其模式是合理可预测的。

那么如何构建分手概率与恋爱年龄的模型呢?我们先引入恋爱余命随机变量的概念。

\(T_{x}\)\(K_{x}\) 表示恋爱余命(future lovetime)的随机变量:

  • \(T_{x}\)​ 表示 \((x)\)​ 的完全恋爱余命的随机变量(Complete future love-time random variable)。特别地,\(T_{0}\)​ 为新坠入爱河者的余命的随机变量,\(T_{0}\)​ 可简写为 \(T\),即恋爱寿命​​;
  • \(K_{x}\) 表示 \((x)\)取整恋爱余命的随机变量(Curtate future love-time random variable),\(K_{x}\)\(T_{x}\) 的整数部分,即:\(K_{x}=[ T_{x}]\)​.

1.2 恋爱余命随机变量的分布

根据概率论与数理统计(CS1 : Actuarial Statistics)科目的知识,我们可以用恋爱余命随机变量的分布函数来描述分手概率

  • \(T_{x}\)累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF):

\[ F_{x}(t)=P(T_{x}\leq t) \]

  • \(T_{x}\)生存函数(Survival Function, SF):

\[ S_{x}(t)=1-F_{x}(t)=P(T_{x}\geq t) \]

  • \(T_{x}\)概率密度函数(Probability Density Function, PDF):

\[ f_{x}(t)=\dfrac{d}{dt}F_{x}(t) \]

这就构成了最基础的恋爱生存模型(Love Survival Models)。详细内容见:CS2 : Risk Modelling and Survival Analysis.

1.3 恋爱精算符号标记

为了表示起来更为便利,恋爱险精算师 Jackie 定义了一套恋爱精算符号标记(love actuarial notation)。用 \(\px{t}{x}\)\(\qx{t}{x}\) 分别表示 \(S_{x}(t)\)\(F_{x}(t)\).

  • 持续恋爱概率 \(\px{t}{x}\) 表示当前恋爱年龄为 \(x\) 岁的个体在 \(t\) 年后仍然恋爱的概率(the probability that a life fell in love for \(x\) years is still In love after \(t\) years):

\[ \px{t}{x}=S_{x}(t)=P(T_{x}> t) \]

  • 分手概率 \(\qx{t}{x}\) 表示当前恋爱年龄为 \(x\) 岁的个体在 \(t\) 年内分手的概率(the probability that a life fell in love for \(x\) years breaks up within \(t\) years):

\[ \qx{t}{x}=F_{x}(t)=P(T_{x}\leq t) \]

  • 延期的分手概率 \(\qx{t|u}{x}\) 表示当前恋爱年龄为 \(x\) 岁的个体在 \(t\)\(t+u\) 年之间分手的概率:

\[ \qx{t|u}{x}=P(t < T_{x}\leq t+u)=\px{t}{x}\cdot \qx{u}{x+t} \]

在表示 1 年期的概率时,上述符号中的 1 可以省略,即: - \(\px{1}{x}=\px{}{x}\) - \(\qx{1}{x}=\qx{}{x}\) - \(\qx{t|1}{x}=\qx{t|}{x}\)

1.4 分手力

为了能够把 \(T_{x}\) 的累积分布函数、生存函数和概率密度函数的式子写出来,我们还需要再引入一个函数:分手力。

分手力(force of break-up) \(\mu_{x}\)\((x)\)单位时间上的分手概率的极限。定义为: \[ \begin{aligned} \mu_{x}&=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{P(T_{0}\leq x+h|T_{0}>x)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{P(T_{x}\leq h)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{\qx{h}{x}}{h} \end{aligned} \] 这里我们先停下来思考一个问题:单位时间上的概率,还是不是概率呢?

要回答这个问题,不妨听 Jackie 讲个故事。

爱因斯坦和牛顿捉迷藏,爱因斯坦捉人,牛顿躲猫猫。

没多久,爱因斯坦看见了牛顿,于是笑着走过去说:“牛顿,我捉住你了。”

牛顿指向地面笑着说:“你捉住的不是我。看我脚下是什么?”

爱因斯坦更奇怪了:“你脚下不就是个一平方米的地砖?”

牛顿说:“对,所以你抓到的不是牛顿,而是牛顿每平方米,也就是帕斯卡。”

所以请注意,分手力是率(rate),而不是概率(probability)

有了分手力函数,我们就可以写出 \(\px{t}{x}\)\(\qx{t}{x}\) 的两个重要积分式: \[ \px{t}{x}=exp{(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)} \]

\[ \qx{t}{x}=\int_{0}^{t} \px{s}{x}\cdot \mu_{x+s}ds \]

以及 \(T_{x}\) 的概率密度函数: \[ f_{x}(t) =\px{t}{x}\cdot \mu_{x+t} \]

2 恋爱寿险的期望现值

分手概率解决了,我们接下来看给付金额。对于恋爱险来说,发生保险事故时给付的保险金(benefit)等于合同事先约定的保险金额(sum assured,简称保额)。在标准化的恋爱险精算EPV符号中,保额默认是1块钱。

2.1 终身恋爱寿险

以一个最简单的恋爱险险种——终身恋爱寿险(whole life love assurance)为例:当被保险人分手时,保险公司给付保险金。

终身恋爱寿险这个险种可以类比我们熟悉的终身寿险(whole life assurance)。先问个简单的问题:

Do you know the difference between a man and a whole life policy?

你知道男人和终身寿险有什么区别吗?

A whole life policy eventually matures.

终身寿险总有到期(成熟)的那一天。(言下之意,男人永远不会成熟)

终身寿险总有到期的那一天,换句话说,终身寿险必定会给付保险金额,因为:

一个人,出生了,死就不再是一个可以辩论的问题,而只是上帝交给他的一个事实;上帝在交给我们这件事实的时候,已经顺便保证了它的结果,所以死是一件不必急于求成的事,死是一个必然会降临的节日。——史铁生《我与地坛》

这也解释了为什么我们习惯把寿险称为“assurance”,而不是“insurance”:

  • insurance”是指为“未必会”发生的保险事件提供保障,通常用来描述财产保险——例如火灾险和盗抢险;
  • assurance” 是指为“一定会”发生的保险事件提供保障,通常用来描述人寿保险——因为assurance的词根是 assure , 有“一定会”的意思。

类似地,分手也几乎是件必然的事——不幸的恋爱持续时间仅短短数月;即便最幸运的情侣,在百年之时也不得不面临死亡对恋爱的打断。(实际上,死亡可以作为减因来考虑,这里我们为方便讲解,对恋爱生存模型进行了简化,望热恋中的情侣勿怪)

你可能会问,分手的发生都已经是必然的了,那还要精算师来算什么呢?

原因在于,分手发生的时点(Timing)是不确定的,换句话说,保险金的给付时点是不确定的。正是因为不确定性的存在,算命先生 Jackie 才有了用武之地。上文中我们已经用 \(T_x\) 描述出了分手发生的时点。

学过利息理论的我们知道,货币是有时间价值的——我们应该把分手时( \(x+T_x\) 时刻)给付的保险金额贴现到当前( \(x\) 时刻)以得到保险金的期望现值(Expected Present Value, EPV)。

  • 分手年度末给付(payable at the end of the year of break-up)1块钱的终身恋爱寿险的保险金的期望现值 \(A_x\)\[ A_x=E[v^{ K_{x}+1}]=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdot P(K_{x}=k) =\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdot \qx{k|}{x} \]

  • 分手时立即给付(payable immediately on break-up)1块钱的终身恋爱寿险的保险金的期望现值 \(\bar{A}_x\)\[ \bar{A}_x=E[v^{ T_{x}}]=\int_0^{\infty}v^t f_x(t)dt =\int_0^{\infty} v^t \cdot \px{t}{x}\cdot \actsymb{}{}{\mu}{}{x+t} dt \]

我们可以把期望现值的 \(\sum\) 积分式或 \(\int\) 求和式里的每一项归结为: \[ \text{Amount of payment} \times \text{Discount function} \times \text{Probability of payment} \]

类似地,也可以写出其他几类恋爱寿险的保险金的期望现值的公式。

2.2 定期恋爱寿险

定期恋爱寿险(term love assurance) :当被保险人在保险期间内分手时,保险公司给付保险金。

  • 分手年度末给付1块钱的定期恋爱寿险的保险金的期望现值 \(\Ax{}{}{}{\termxn}\)

\[ \Ax{}{}{}{\termxn}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}\cdot \qx{k|}{x} \]

  • 分手时立即给付1块钱的定期恋爱寿险的保险金的期望现值 \(\Axz{}{}{}{\termxn}\)

\[ \Axz{}{}{}{\termxn}=\int_0^{n} v^t \cdot \px{t}{x}\cdot \actsymb{}{}{\mu}{}{x+t} dt \]

2.3 生存恋爱保险

生存恋爱保险(pure love endowment):当被保险人恋爱至保险期满时,保险公司给付保险金。

  • 恋爱至保险期满给付1块钱的生存恋爱保险的保险金的期望现值 \(\Ax{}{}{}{\pureendowxn}\)

\[ \Ax{}{}{}{\pureendowxn}= v^n \cdot P(K_{x}\geq n)=v^{n}\cdot \px{n}{x} \]

2.4 两全恋爱保险

两全恋爱保险(endowment love assurance):当被保险人恋爱至保险期满或在保险期间内分手时,保险公司给付保险金。两全恋爱保险相当于定期恋爱寿险加生存恋爱保险。

  • 分手年度末或恋爱至保险期满给付1块钱的生死两全恋爱保险的保险金的期望现值 \(\Ax{}{}{}{\endowxn}\)

\[ \Ax{}{}{}{\endowxn}=\Ax{}{}{}{\termxn}+\Ax{}{}{}{\pureendowxn} \]

2.5 延期恋爱保险

以上的恋爱寿险都可以有延期(deferred)的形式,即经过一段时间后该保险才生效。

  • 延期 \(n\) 年的分手年度末给付1块钱的终身恋爱寿险的保险金的期望现值 \(\actsymb{n|}{}{A}{}{x}\)

\[ \actsymb{n|}{}{A}{}{x}=\sum_{k=n}^{\infty}v^{k+1}\cdot \qx{k|}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot A_{x+n} \]

3 恋爱年金的期望现值

还有一大类恋爱保险产品是恋爱年金

3.1 终身恋爱年金

终身恋爱年金(Whole life love annuity):以年金受领人的整个未来恋爱期间为支付期的恋爱年金。

  • 每年年末给付1块钱的终身恋爱年金的保险金的期望现值 \(\ax{}{}{}{x}\)

\[ \ax{}{}{}{x}=E[\ax{}{}{}{\angl{K_x}}]=\sum_{k=0}^{\infty}\ax{}{}{}{\angl{k}}\cdot \qx{k|}{x}=\sum_{k=1}^{\infty}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]

  • 每年年初给付1块钱的终身恋爱年金的保险金的期望现值 \(\axzz{}{}{}{x}\)

\[ \axzz{}{}{}{x}=E[\axzz{}{}{}{\angl{K_x +1}}]=\sum_{k=0}^{\infty}\ax{}{}{}{\angl{k}}\cdot \qx{k|}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]

  • 连续给付,每年的支付强度为1的终身恋爱年金的保险金的期望现值 \(\axz{}{}{}{x}\)

\[ \axz{}{}{}{x}=E[\axz{}{}{}{\angl{T_x}}]=\int_{0}^{\infty}e^{-\delta t} \px{t}{x}dt \]

3.2 定期恋爱年金

定期恋爱年金(Temporary love annuity):在合同期间内且年金受领人恋爱的前提下进行支付的恋爱年金。

  • 每年年初给付1块钱的定期恋爱年金的保险金的期望现值 \(\axzz{}{}{}{x}\)

\[ \axzz{}{}{}{\endowxn}=E[\axzz{}{}{}{\angl{\min{(K_x +1},n)}}]=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]

  • 每年年末给付1块钱的定期恋爱年金的保险金的期望现值 \(\ax{}{}{}{x}\)

\[ \ax{}{}{}{\endowxn}=E[\ax{}{}{}{\angl{\min{(K_x},n)}}]=\sum_{k=1}^{n}v^{k} \cdot \px{k}{x} \]

3.3 延期恋爱年金

上述各类年金都有延期(deferred for a given term)的形式,即过了一段时间该年金才生效。延期年金(deferred annuities)即期年金(immediate annuities)相对。

  • 延期 \(n\) 年的每年年初给付1块钱的终身恋爱年金的保险金的期望现值 \(\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x}\)

\[ \actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot \axzz{}{}{}{x} \]

  • 延期 \(n\) 年的每年年末给付1块钱的终身恋爱年金的保险金的期望现值 \(\actsymb{n|}{}{a}{}{x}\)

\[ \actsymb{n|}{}{a}{}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot \ax{}{}{}{x} \]

  • 延期 \(n\) 年的连续给付,每年的支付强度为1的终身恋爱年金的保险金的期望现值 \(\axz{}{}{}{x}\)

\[ \actsymb{n|}{}{\bar{a}}{}{x}=v^{n}\cdot \px{n}{x}\cdot \axz{}{}{}{x} \]

3.4 最低保证恋爱年金

最后还有一种年金是最低保证恋爱年金。

最低保证恋爱年金(Guaranteed love annuity):以年金受领人的整个未来恋爱期间或一个约定的支付期间两者中的较大值为支付期的恋爱年金。其支付期最少能够保证一个约定的期限。

  • 每年年初给付1块钱的最低保证恋爱年金的保险金的期望现值 \(\axzz{}{}{}{\joint{\endowxn}}\)

\[ \axzz{}{}{}{\joint{\endowxn}}=E[\axzz{}{}{}{\angl{\max{(K_x +1},n)}}]=\axzz{}{}{}{\angln}+\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x} \]

  • 每年年末给付1块钱的最低保证恋爱年金的保险金的期望现值 \(\ax{}{}{}{\joint{\endowxn}}\)

\[ \ax{}{}{}{\joint{\endowxn}}=E[\ax{}{}{}{\angl{\max{(K_x},n)}}]=\ax{}{}{}{\angln}+\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x} \]

4 恋爱生命表

分手概率和保险金的期望现值的数学公式是写出来了,但是如果在每次出售保险的时候都现场演算一遍,顾客是等不及的。所以我们需要把这些值提前算出来,并且列在恋爱生命表里,以便查阅。

4.1 分性别列示

除了恋爱年龄以外,性别也是影响分手风险的一个重要因素,所以恋爱生命表都是分性别的(男性和女性列示于不同的表中)。

生命表列示了不同年龄和性别下的生命表函数,这使得我们能够对不同年龄和性别的人收取不同等级的保费

4.2 恋爱生命表函数

生命表的编制是从恋爱生命表函数(love table function) \(l_x\) 出发的。 \(l_{x}\) 定义为我们研究的目标人群在恋爱年龄为 \(x\) 岁时仍然恋爱的人数。这样,只要我们知道 \(l_{x}\),我们就可以计算出持续恋爱概率 \(\px{t}{x}\) 和分手概率 \(\qx{t}{x}\) :

  • \(\px{t}{x}=\dfrac{l_{x+t}}{l_{x}}\)
  • \(\qx{t}{x}=1-\px{t}{x}=\dfrac{l_{x}-l_{x+t}}{l_{x}}\)
  • \(\qx{t|u}{x}=\px{t}{x}\cdot \qx{u}{x+t}=\dfrac{l_{x+t}-l_{x+t+u}}{l_{x}}\)

4.3 选择分手概率

前面我们提到的分手概率只取决于该个体当前的恋爱年龄,称为终极分手概率(ultimate break-up probability). 但通常,刚坠入爱河的人的分手概率低于整体(population)。所以现在我们考虑分手概率同时取决于投保人当前的恋爱年龄和投保人投保时的恋爱年龄的情形。这种死亡率称为选择分手概率(select break-up probability).

一个在恋爱年龄 \(x\) 岁投保的个体称作在恋爱年龄 \(x\) 岁被选择。 在一段时间 \(s\) 年过后,此次选择对未来的分手概率没有影响(其后的分手概率变为终极分手概率),使得选择有意义的该时间段 \(s\) 称为观察期(select period)我们把在恋爱年龄 \(x\) 岁投保,当前恋爱年龄 为 \(x+r\) 岁的个体记为 \([x]+ r\) .

每个恋爱生命表(select break-up probability table),都会有选择生命表函数,例如 \(\qx{}{[x] + r}\) , \(l_{[x] + r}\) (对于 \(r = 0,1,\cdots, s -1\));而对于 \(r \geq s\) , 死亡率只和年龄有关,即:\(\qx{}{x} = \qx{}{[x-r]+r}\).

4.4 期望现值

将对应的持续恋爱概率 \(\px{t}{x}\) 和分手概率 \(\qx{t}{x}\)代入 \(A_x\)\(\ddot{a}_x\)\(\sum\) 求和式,就可以把离散型恋爱寿险和年金的期望现值也列示在生命表上。连续型的恋爱寿险和恋爱年金在生命表中没法直接查到,要用到其与离散型恋爱寿险和恋爱年金的近似关系式。

5 课堂总结

5.1 正经的知识点

这堂课的知识点对应 CM1 2021 版 CMP 的以下章节:

  • 14 The life table
  • 15 Life assurance contracts
  • 16 Life annuity contracts

5.2 七夕相关阅读

同学们,今天的《恋爱险精算》就讲到这里,我们下个七夕见~

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