为什么十赌九输?梅西给不了你的答案精算可以给你。

不翼而飞的私房钱

最近是卡塔尔世界杯。众多听信了“足球反着买,别墅靠大海”的朋友们纷纷下注,做起了一夜暴富的美梦。

Jackie有个朋友也是一位球迷。他很自信,凭借他对足球多年的研究,必能“别墅靠海”。但一直等到世界杯闭幕,他的美梦仍未能实现。百思不得其解的他找到了我。

“Jackie,最近有个问题一直困扰着我,听说你除了做精算辅导以外副业还做精算,精通算数,我在搜索引擎搜博彩跳出来第一条结果就显示博彩精算师,所以特来请教你。”

“这……精算倒不是做博彩的。不过我们确实啥都学一点,你不妨说来听听。”

“事情是这样。我把多年攒下的私房钱都用来买了这次世界杯的足球彩票。由于担心自己对球队的情绪影响了判断,我随机买,那输钱和赢钱的概率应该各占二分之一,这没错吧。但我发现自己的私房钱很快就所剩无几了。我苦恼不是因为钱,而是因为我觉得这个世界是不公平的。难道二分之一的概率不代表我最终应该不亏不赚吗?我实在是想不通。Jackie,精算里有没有什么理论能解释一下这个问题?”

“鄙人也不善于下注,但问精算问题你是问对人了。英国精算师考试中的 CS2: Risk Modelling and Survival Analysis 科目涉及了若干精算模型,其中的随机游走Random Walk)正好能够解决你的问题。先说结论,十赌九输,只有赌场才会是最终的赢家。”

随机游走

假定你在每个单位时间里下注一次,赌1块钱,赢的概率为 \(p\), 输的概率为 \(q=1-p\). 将你的财富在第 \(i\) 个单位时间里的变化量记为 \(\xi_i\),则 \[ \begin{cases} \mathbf{P}\left(\xi_i=+1\right)=p\\ \mathbf{P}\left(\xi_i=-1\right)=q \end{cases} \]

记初始的财富值 \(S_0=a\), 则 \(n\) 时刻的财富值 \(S_n\)\[S_n=a+\sum_{i=1}^{n}\xi_i\]

对应的随机过程(stochastic process) \(\{S_n\}_{n\geq 0}\) 是一个随机游走(random walk)。随机游走模型在保险,金融,破产理论里均有应用。

赢的次数

\(X\) 为赢的次数,则在 \(n\) 次中赢 \(k\) 次的概率: \[ P(X=k)=\binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

其中: \[ \binom{n}{k}=\frac{n !}{(n-k) ! k !} \]

实际上,这就是一个二项分布(Binomial distribution)。

破产概率

终极破产概率(probability of ruin eventually) \(P(R)\): \[ \mathbf{P}(R)= \begin{cases} \left(\frac{q}{p}\right)^a & p>\frac{1}{2} \\ 1 & p \leq \frac{1}{2} \end{cases} \]

当输和赢的概率各占二分之一时,破产概率为1. 也就是说,即便是一个公平赌博(fair gamble), 这位朋友也百分之百会输光他的私房钱

平均破产时间

当赢钱概率 \(p<\frac{1}{2}\) 时,平均破产时间: \[ \mathbf{E} T_a=\frac{a}{1-2 p} \]

假如你手上有10块钱,赢的概率是百分之二十五,那么平均来看,赌20次你就会输得精光。

结论

可以发现,破产概率和平均破产时间同时和初始本金,以及赢的概率相关。哪怕是公平赌博,本金大的人才会是最后的赢家。但是谁的本金能大过赌场呢?

所以收手吧,及时清醒,别让世界杯变成你的“世界悲”。

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