没有人比男朋友更懂衍生品和投连险

Jackie

调侃精算

发布于：2023年6月1日

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“今晚吃啥？”“随便。”

无所谓 也有点累

是一个恋爱纪念日的晚上。你满怀期待地问你男朋友：

“今晚我们吃啥？”

提问的瞬间，你的脑袋里已经涌现出了无数浪漫的场景：不管饱但有情调的烛光晚餐、你最爱的冰淇淋火锅、各种烤肉……

但是你男朋友说：“随便。”

是的，这就是你男朋友，他好像对什么事都无所谓。衬衫穿蓝色还是粉色，领带系温莎结还是平结，情人节过六一还是七夕，甚至家里的闲钱用来炒股还是存银行，他无一例外表示：都行，都可以，我没有什么偏好。

你很惊讶：你这日子过得也太糊涂了吧。股票属于风险资产（risky asset），银行存款则是无风险资产（risk-free asset），风险不一样，要求回报率（required rate of return）怎么会一样呢？

风险中性概率测度

他说，是的，风险对大部分人都是件坏事，也就是说，他们是风险厌恶（risk averse）的。对他们而言，风险越高的资产，要求回报率越高，这是你承担额外的风险得到的补偿，称作信用风险溢价（credit spread）。当然了，以这种较高的要求回报率定出来的价格就低。因此确定要求回报率也就同时解决了定价的问题。

但是你不妨大胆假设，总有一部分人是风险中性（risk neutral）的。虽然这很随便，但类比一下各个体系的精算考试就很合理了：就像豆腐脑，有甜有咸，但都是稀碎，使人意兴阑珊。既然工作和考证已经占据了大部分时间，在选择投资上的风险态度（risk appetite）是得过且过，这就合情合理。

衍生品的定价，是少不了我们这些风险中性的男人的。

听到这里，你深吸了一口气。你知道今天的课要开始了。你俩当年是同班同学，一起学精算一起考证，这种男女朋友一起讨论学术问题的场景在别的职业里也许略有点奇怪，但对你俩来说已经司空见惯了。其实这也不是个例，据不完全统计，精算师的配偶往往是同行，原因大概率是由于考证导致的社交缺少，唯一熟悉的范围限定在了同学和同事。

BS期权定价公式

衍生品中最有代表性的莫过于期权了。以欧式看涨期权（European call option）为例，期权费可以用Black–Scholes公式计算：

\[ c(t)=S_t \Phi(d_1(t))-K e^{-r(T-t)}\Phi(d_2(t)) \]

其中，\(S_t\)是标的资产（Underlying asset）的价格，\(K\)是期权的执行价格（exercise price）。

明显可以看到，BS公式在贴现的时候用的是无风险利率 \(r\)，这是将概率测度由真实世界的概率测度变换为风险中性概率测度以后的产物。

为什么在衍生品定价时要选择我们这类风险中性的人的概率世界呢？

因为你选择真实世界概率测度，就得用要求回报率来贴现，但是要求回报率太难确定了。面对一个奇奇怪怪的衍生品（比如浪漫的渣男），贸然赌上你的终身幸福，你连风险有多大都未必能想得清楚，又怎么知道该用多大的回报率去要求他？

但是我们这样风险中性的男人就省心得多了。用无风险利率贴现就可以。当然代价就是，你的晚饭得自己选菜单了。毕竟在我们风险中性的世界里，对于晚饭没有什么偏好。

所以说爱人无论你怎么选都是错的，而好的婚姻就是将错就错。

投资连结险

你可能会问，衍生品定价和精算有什么关系呢？

当然有的。这个险种就是投资连结险，在IFoA里叫做Unit-linked，在SOA里叫做Equity-linked，包括变额年金（Variable Annuity）也是同一回事。

我们看个终身寿险（投资连结型）的条款：

为了方便说明，稍微简化一下，假定保费是趸交，死亡时给付的保险金是投资账户价值 \(F_t\) 和保费 \(P\) 取较大值，即最低死亡给付保证（Guaranteed minimum death benefit, GMDB）的情况。把扣费以后的投资账户价值 \(F_t\) 视作一个指数基金，对应BS公式里的标的资产价格 \(S_t\)，那保费 \(P\) 就可以视作BS公式中的 \(K\)。

这不就是一个妥妥的期权！用BS公式直接搞定。

当然，还需要进一步考虑投资账户的指数基金的扣费情况。具体的内容可以看：

• IFoA CM2 Ch15 The Black-Scholes option pricing formula
• SOA ALTAM Lesson 33 Percentage of Premium Guarantees

最好的选择

这堂衍生品定价的课听得你非常困。其实你对选择与未来（Option and Future）完全不感兴趣。限于公司的投资能力，万能险和投连险也并非你所在公司经营的重点。

但看他兴冲冲地讲着，你依然睡眼惺忪地听着，始终没有打断他。

因为你想起，当年你们俩一起读书的时候，因为IFoA多数是计算题，对理解精算原理的要求更高，备考的压力使你一度想放弃，甚至考虑转投选择题为主的SOA。是他不断鼓励你，给你耐心地讲题，还详细论述了计算大题的优势。他说，选择题哪有IFoA里Explain without any calculation的题有意思呀。最后你坚持考下了IFoA。

因为你想起他经常逗你笑。因为备课讲题的功劳你开玩笑说要给他送康乃馨。他笑着说，你不必为一枝花而停留，因为爱着你的人有备而来。

你还想起，在每个你和他抱怨月结计算会计准备金的无聊和为0630的切换而加班加点的时刻，他从不会选择回答你“精算工作就是很苦啊”，也没有选择说“可能就只是忙一阵子就行吧”，他从来都会放下手机，径直走到你身边陪着你，哄着你，直至那些不顺心和小情绪被彻底排解。

这个风险中性的男人用行动告诉你，他不是不会选。只是他明白一个更为朴素的道理：

最好的答案，怎么会在选项里呢？

本页文档最后更新于：2023年11月30日